Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen

Ahora vamos a calcular la ecuación ordinaria de la hipérbola, pero con el centro en el punto $C(h,k)$ . Esto ocasiona un cambio en la forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola horizontal a través de una traslación como:

$\begin{equation*} \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \end{equation*}$

y para el caso de la hipérbola vertical como:

$\begin{equation*} -\frac{(y - k)^2}{a^2} + \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1 \end{equation*}$

La solución de los problemas de este tipo también se reducen a calcular los parámetros $a$ , $b$ y $c$ de la hipérbola, pero hay que tener cuidado con el cálculo de los elementos de la hipérbola.

Recuerda que cuando la hipérbola las fórmulas para el cálculo de cada elemento de la misma cambia cuando es horizontal a cuando es vertical.

Contenido

1 Ejemplo 1
2 Ejemplo 2
3 Ejemplo 3
4 Ejemplo 4
5 Ejemplo 5

Ejemplo 1

Calcula la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el punto $C(2,2)$ , un vértice en el punto $V(17,2)$ y un foco en $F'(-15,2)$ .

Para empezar, la distancia desde el centro de la hipérbola hasta uno de sus focos es $c$

$\begin{equation*} c = |-15 - 2| = 17 \end{equation*}$

También sabemos que la distancia desde el centro de la hipérbola hasta un vértice es $a$ :

$\begin{equation*} a = |17 - 2| = 15 \end{equation*}$

A partir de esta información podemos calcular el valor de $b$ :

$\begin{equation*} b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8 \end{equation*}$

Y a partir de estos parámetros fácilmente calculamos todos los elementos de la hipérbola. Empezamos calculando el otro foco. Dado que del foco al centro hay 17 unidades, y el otro foco está a la derecha del centro, las coordenadas del foco faltante son: $F(19,2)$ .

De manera semejante, para calcular las coordenadas del otro vértice, observa que éste se encuentra a la izquierda del centro de la hipérbola, y que la distancia del centro de la hipérbola a cada vértice es 15 unidades. Entonces, $V'(-13,2)$ .

Los extremos del eje conjugado están a 8 unidades, uno arriba y el otro abajo del centro de la hipérbola:

$\begin{equation*} B(2,10)\qquad\mbox{ y }\qquad B'(2,-6) \end{equation*}$

La lista de todos los elementos de esta hipérbola se enlistan enseguida:

Centro: $C(2, 2$ )
Vértices: $V(17, 2)$ , $V'(-13, 2)$
Focos: $F(19, 2)$ , $F'(-15, 2)$
Longitud del Eje Transverso: 30
Longitud del Eje Conjugado: 16
Excentricidad: $e = 17 / 15$

La ecuación de esta hipérbola es la siguiente:

$\begin{equation*} \frac{(x + 2)^2}{225} - \frac{(y + 2)^2}{64} = 1 \end{equation*}$

Se te queda como ejercicio graficar esta hipérbola.

Ejemplo 2

Calcula la ecuación y todos los elementos de la hipérbola que tiene sus vértices en los puntos $V(1,4)$ y $V'(-5,4)$ yla longitud de su eje conjugado es igual a 8 unidades.

Por simetría, el punto medio del eje transverso es el centro de la hipérbola. Los extremos del eje transverso son los vértices. Entonces, las coordenadas $C(x_C, y_C)$

del centro de la hipérbola son:

$\begin{equation*} x_C = \frac{1 - 5}{2} = -2\qquad\qquad y_C = \frac{4 + 4}{2} = 4 \end{equation*}$

Ahora que sabemos que el centro es el punto $C(-2, 4)$ , podemos calcular el valor de $a$ , que es la distancia desde el centro hasta cualquiera de los vértices:

$\begin{equation*} a = |1 -(-2)| = 3 \end{equation*}$

Y usando la longitud del eje conjugado calculamos el valor del parámetro $b$ :

$\begin{equation*} 2\,b = 8\qquad\Rightarrow\qquad b = 4 \end{equation*}$

Usando los valores de $a$ y $b$ podemos calcular el de $c$ :

$\begin{equation*} c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} =\sqrt{25} = 5 \end{equation*}$

Y a partir de esta información, fácilmente calculamos todos los elementos de la hipérbola.

Para calcular los focos, sumamos y restamos $c = 5$ unidades a la coordenada $x$ del centro de lahipérbola: $F(3,4)$ y $F'(-7,4)$ .

La longitud del eje transverso es $2\,a = 2\,(3) = 6$ .

La excentricidad es: $e = c/a = 5/3$ .

Y la ecuación de esta hipérbola:

$\begin{equation*} \frac{(x + 2)^2}{9} - \frac{(x - 4)^2}{16} = 1 \end{equation*}$

Ejemplo 3

Calcula la ecuación y todos los elementos de la hipérbola vertical cuyo eje transverso mide 16 unidades y su eje conjugado mide 12 unidades, y tiene su centro en el punto $C(-1,7)$ .

Sabemos que la longitud del eje transverso es $2\,a$

. Esto indica que $2\,a = 16$

, es decir, $a = 8$

Por otra parte, la longitud del eje conjugado es $2\,b$ . Entonces, $2\,b = 12$ , es decir, $b = 6$ .

Ahora podemos calcular el valor de $c$ :

$\begin{equation*} c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \end{equation*}$

Tenemos suficiente información para calcular los elementos de la hipérbola.

Empezamos con los vértices. Dado que la hipérbola es vertical, un vértice está 8 unidades arriba del centro y el otro está abajo 8 unidades:

$\begin{equation*} V (-1,7+8) = V(-1,15)\qquad\mbox{ y }\qquad V'(-1,7-8) = V'(-1,-1) \end{equation*}$

Los focos se encuentran de manera semejante, dado que están sobre el eje transverso al igual que los vértices. La distancia del centro a cada foco es: $c = 10$

$\begin{equation*} F(-1,7+10) = F(-1,17)\qquad\mbox{ y }\qquad F'(-1,7-10) = F'(-1,-3) \end{equation*}$

Los extremos del eje conjugado están a 6 unidades a la derecha y a la izquierda del centro, respectivamente. Por eso, para encontrar sus coordenadas sumamos y restamos ahora en la coordenada del eje $x$ :

$\begin{equation*} B(-1 + 6,7) = B(5,7)\qquad\mbox{ y }\qquad B'(-1-6,7)=B'(-7,-7) \end{equation*}$

La excentricidad de esta hipérbola es: $e = c/a = 5/4$ . Y la ecuación de esta hipérbola es:

$\begin{equation*} -\frac{(x + 1)^2}{64} + \frac{(y - 7)^2}{36} = 1 \end{equation*}$

Ejemplo 4

Calcula la ecuación y todos los elementos de la hipérbola que tiene su centro en el punto $C(-1,-4)$ y uno de sus vértices en el punto $V(-1,12)$ y cuya excentricidad es $e = 17/8$ .

La distancia del centro de la hipérbola a cualquiera de sus vértices es $a$

. Por lo tanto, $a = |12 - (-4)| = 16$

. Y con el valor de la excentricidad de la hipérbola, podemos calcular el valor de $c$

$\begin{equation*} e = \frac{c}{a} = \frac{c}{16} = 17/8 \qquad\Rightarrow\qquad c = 34 \end{equation*}$

Y el valor de $b$ se calcula a partir de los dos anteriores:

$\begin{equation*} b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{1156 - 256} = \sqrt{900} = 30 \end{equation*}$

Ahora ya podemos calcular todos los elementos de la hipérbola. Observa que la hipérbola es vertical. Puedes darte cuenta de esto viendo que el vértice está arriba del centro de la hipérbola. Entonces, el otro vértice está debajo del centro: $V'(-1,-4-16) = V'(-1,-20)$ .

Los focos están uno arriba y otro debajo del centro:

$\begin{equation*} F(-1,-4+34) = F(-1,30)\qquad\mbox{ y }\qquad F'(-1,-4-34) = F'(-1,-38) \end{equation*}$

La longitud del eje transverso es: $2\,a = 2\,(16) = 32$ . La longitud del eje conjugado es: $2\,b = 2\,(30) = 60$ . Finalmente, la ecuación de esta hipérbola es:

$\begin{equation*} -\frac{(x + 1)^2}{900} + \frac{(y + 4)^2}{256} = 1 \end{equation*}$

Para todos los problemas resueltos en esta sección, tienes de tarea graficar cada una de las hipérbolas.

Se sugiere que vuelvas a leer el texto de cada problema y grafiques los datos y tú intentes sin ver la solución de cada ejemplo. Esto te ayudará a entender mejor el procedimiento y así podrás poco a poco profundizar en el porqué del mismo.

El siguiente ejemplo, muestra todo el procedimiento, pero tú debes intentar resolverlo solo, leyendo los datos del problema solamente. Al final puedes verificar tus resultados.

Ejemplo 5

Calcula la ecuación y todos los elementos de la hipérbola horizontal que tiene su centro en el punto $C(3,-3)$ , excentricidad $e = 13/12$ , y longitud del eje transverso igual a 48 unidades.

Observa que la hipérbolaes horizontal. Eso significa que los vértices como los focos están, uno a la derecha y el otro a la izquierda del centro.

Dado que el eje transverso mide 48 unidades, $2\,a = 48$ , implica $a = 24$ . Usando $e = 13/12 = c/a$ , podemos calcular el valor de $c$ , dado que ya conocemos $a$ :