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Graficación de funciones

Aprenderás algunas transformaciones que se pueden realizar en las gráficas de las funciones.

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La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos ayuda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando.

A partir de la gráfica de la función podemos encontrar el dominio, el contradominio, describir su comportamiento: dónde crece, dónde decrece, dónde se hace cero, dónde tiene un mínimo o un máximo, etc.

Para graficar una función de la manera más sencilla, basta sustituir valores de x en la función y calcular los valores correspondientes para y, ubicar estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y unir los puntos por una curva suave.

En el análisis que se presenta aquí no usaremos ese método. En su lugar, describiremos cómo se comporta la función y haremos un estudio más bien descriptivo. El objetivo consiste en que tú logres ver la gráfica de la función antes de empezar a graficarla, es decir, que conozcas el comportamiento de la función, más que los puntos precisos por donde pasa.

Algunas veces no se requiere precisión, sino un bosquejo es suficiente para obtener la información que requerimos.

Por ejemplo, cuando queremos saber si la población de una especie en peligro de extinción va a salir de esa denominación: en peligro de extinción, debemos estudiar cómo se comporta el modelo matemático (que en este caso en una función que nos dice cuántos individuos de esa población habrá dependiendo del tiempo). No nos interesa saber cuántos habrá en diez o veinte años, sino si crecerá lo suficiente como para que ya no corra el peligro de extinguirse.


Ejemplo 1

Grafica la función: y = x.

La gráfica de esta función es inmediata. Esta función, estrictamente hablando, no transforma los valores de x que le damos.
En palabras dice: el mismo valor que me des de x, se lo asignaré a la variable y, sin hacerle ningún cambio.
En realidad no requerimos tabular distintos valores de x y calcular los valores de y. La gráfica de esta función forma un ángulo de 45° con ambos ejes:

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En la gráfica se observa claramente que a cada valor de x le corresponde un valor de y. En este caso y = x, que es como se definió la función.
Encuentra el dominio y el contradominio de esta función. Recuerda que esta función es polinomial.



Ejemplo 2

Grafica la función: y = x + 1.

La gráfica de esta función es hermana de la anterior.
Esta función, en palabras dice: al valor que me des de x le sumaré 1, y ese valor se lo asignaré a la variable y.
De nuevo, no requerimos tabular distintos valores de x y calcular los valores de y.
La gráfica de esta función forma un ángulo de 45\textdegree con ambos ejes, como la anterior, pero ahora no pasa por el origen del sistema de coordenadas:

Rendered by QuickLaTeX.com

La gráfica en palabras nos dice: A los antiguos valores de y (de la función y = x) les sumo 1; en otras palabras, estoy moviendo la gráfica de la función y = x una unidad hacia arriba y obtengo la gráfica de la función y = x+1.



Ejemplo 3

Grafica la función: y = x - 1.

La gráfica de esta función es hermana de las dos anteriores.
Esta función, en palabras dice: al valor que me des de x le restaré 1, y ese valor se lo asignaré a la variable y.
Como la gráfica anterior, ésta no pasa por el origen del sistema de coordenadas.
La gráfica de la función fue trasladada en una unidad también, pero ahora hacia abajo:

Rendered by QuickLaTeX.com

La gráfica en palabras nos dice: A los antiguos valores de y (de la función y = x) les resto 1; en otras palabras, estoy moviendo la gráfica de la función y = x una unidad hacia abajo y obtendo la gráfica de la función y = x - 1.


A partir de estos tres ejemplos tú fácilmente puedes graficar la función y = x+k, donde k es un número real.


Traslación vertical

Si a la gráfica de la función y = f(x) la trasladamos verticalmente k unidades, obtenemos la gráfica de la función y = f(x) + k.



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