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Graficación de funciones

Aprenderás algunas transformaciones que se pueden realizar en las gráficas de las funciones.


Ahora estudiaremos una última transformación: la traslación horizontal.


Ejemplo 12

Grafica la función: y = (x-1)^2.


Como el binomio x-1 está elevado al cuadrado, la parábola abre hacia arriba.

La primer pregunta que debes hacerte cuando tengas este tipo de función es: ¿qué valor debe darle a x para que y tenga el mínimo valor?… o en otras palabras: ¿qué valor de x hace que x - 1 sea igual a cero? Y la respuesta es: si x=1, entonces x-1=0.

Entonces, la función: y = (x-1)^2, tiene su vértice en el punto (1,0). Es decir, y = x^2 (que tiene su vértice en (0,0)) se trasladó horizontalmente hacia la derecha en una unidad. En otras palabras, sufrió una traslación horizontal.

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Calcula el dominio y contradominio de esta función.



Ejemplo 13

Grafica la función: y = (x + 2)^2.


Como el binomio x+2 está elevado al cuadrado, la parábola abre hacia arriba. ¿Qué valor de x hace que x+2 sea igual a cero? Y la respuesta es: si x=-2, entonces x + 2 = 0. Entonces, la función: y = (x+2)^2, tiene su vértice en el punto (-2,0). Es decir, y = x^2 (que tiene su vértice en (0,0)) se trasladó horizontalmente hacia la izquierda en dos unidades.

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Calcula el dominio y el contradominio de esta función.



Traslación horizontal

Si a la gráfica de la función y = f(x) la trasladamos horizontalmente k unidades, (con k > 0 la traslación ocurre hacia la izquierda y con k < 0 hacia la derecha) obtenemos la gráfica de la función y = f(x + k).


Con esta transformación podemos graficar fácilmente cualquier función cuadrática. En caso de que encuentres una función de la forma: y = a\,x^2 + b\,x + c, basta completar cuadrados (si no recuerdas cómo completar cuadrados, debes estudiarlo de nuevo) y convertir la función a la forma: y = (x - \alpha)^2 + \beta.

El número \alpha causa una traslación horizontal; el número \beta causa una traslación vertical. El peor de los casos tendremos una función de la forma: y = k\,(x - \alpha)^2 + \beta, con k < 0, es decir un número negativo, lo que indica una dilatación junto con una reflexión respecto al eje x.

Como ves, el álgebra elemental (productos notables y factorización) se requiere para realizar el procedimiento. El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos.


Ejemplo 14

Grafica la función: y = x^2 - 4\,x + 1.

Método 1: Completando cuadrados

Primero debes observar que es una función cuadrática, y que se trata de una parábola. Vamos a completar cuadrados.

    \begin{eqnarray*}    y&=&x^2-4\,x+1\\    &=&(x^2-4\,x+1)+(4-4)\\    &=&(x^2-4\,x+4)+(1-4)\\    &=&(x-2)^2-3\\\nonumber \end{eqnarray*}

En esta forma, es mucho más fácil y rápido hacer la gráfica de la función. Para completar cuadrados más fácilmente, calcula la mitad del coeficiente del término lineal, en este caso, la mitad de -4 es -2, y usa ese valor para completar el binomio.

He aquí un segundo método de llegar al mismo resultado.

Método 2. Fórmula general

Encontramos las raíces de la función, es decir, los puntos donde la gráfica corta al eje x, con la ayuda de la fórmula general:

    \begin{equation*}    x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}

En este caso: a=1,b=-4 y c=1. Sustituimos los valores en la fórmula general y resolvemos para encontrar los valores de x:

    \begin{eqnarray*}    x&=&\frac{4\pm\sqrt{16-4\,(1)(1)}}{2\,(1)}\\    &=&\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}\\    &=&\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}\\    &=&2\pm\sqrt{3} \end{eqnarray*}

Ahora ubicamos los puntos:

    \begin{equation*}    x_1=2+\sqrt{3}\qquad \mbox{ y }\qquad x_2=2-\sqrt{3} \end{equation*}

en el eje x y a partir de estos graficamos la parábola. Sabemos que la parábola abre hacia arriba. En caso de que quieras mayor precisión, podemos usar la información del método 1, el vértice se encuentra en el punto (2,-3).

Método 3. Geométricamente

Usando la interpretación geométrica de las raíces de la ecuación cuadrática, podemos fácilmente encontrar las coordenadas del vértice:

    \begin{equation*}    x_v = -\frac{b}{2\,a} = -\frac{-4}{2\,(1)} = 2 \end{equation*}

Y la ordenada del vértice es: y(2) = (2)^2 - 4\,(2) + 1 = -3. Entonces, el vértice es: (2,-3). Sabemos que la parábola abre hacia arriba porque el coeficiente del término cuadrático es positivo, y ya podemos hacer un bosquejo de la gráfica de la función.

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Ahora tú encuentra el dominio y el rango de esta función.


Para ver más ejemplos de graficación de funciones puedes estudiar el curso titulado “Graficación de Funciones.”

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