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Graficación de funciones

Aprenderás algunas transformaciones que se pueden realizar en las gráficas de las funciones.


Ahora trabajaremos con una nueva transformación. Esta transformación se llama reflexión (respecto al eje x) y consiste en multiplicar la variable x por un número negativo. Empezamos con el caso más sencillo.


Ejemplo 6

Grafica la función: y = -x.

Esta función es un reflejo de la función: y = x respecto del eje x.
En palabras dice: …nada más le voy a cambiar el signo al valor que me des de x, y el resultado se lo voy a asignar a y.

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Si comparamos esto con la función: y = x la gráfica diría: …a lo que antes era positivo ahora lo consideraré negativo, y viceversa, lo que antes era negativo, ahora lo consideraré positivo… Así que lo que antes estaba arriba del eje x, ahora estará por debajo, y a la misma distancia del eje, y viceversa, lo que antes estaba por encima del eje x ahora estará por debajo, y a la misma distancia.

El nombre de esta transformación viene del hecho que parece que la gráfica de la función y = x se reflejó respecto al eje x (como si el eje x fuera un espejo).

Debes observar que en este caso la pendiente de la recta m=-1, es decir, es negativa y la gráfica de la función desciende conforme avanzamos en la dirección positiva del eje x. Esto indica que la función siempre decrece. Por cada unidad que nos movemos hacia la derecha, la gráfica de la función desciende uno. Es decir, por cada uno que nos movemos en la dirección positiva del eje x la gráfica se mueve uno hacia abajo en el sentido del eje y.



Ejemplo 7

Grafica la función: y = -2\,x + 1.

Realizaremos la gráfica de esta función en 4 pasos:

  • Paso 1: Graficamos la función y = x.
  • Paso 2: Hacemos la reflexión del la gráfica anterior para obtener la gráfica de la función y = -x.
  • Paso 3: Dilatamos la función y = -x multiplicándola por 2, así obtenemos la gráfica de la función: y = -2\,x.
  • Paso 4: Hacemos una traslación vertical: sumamos 1 a la función anterior y obtenemos la gráfica de: y = -2\,x+1

Cada uno de los pasos se muestra en la siguiente gráfica:

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Ahora encuentra la pendiente de la recta y tanto el dominio como el contradominio de la función.


En realidad, graficar una función lineal es muy sencillo. Solamente tienes que pensar en términos de las transformaciones sucesivas que se realizaron sobre las gráficas.

Para graficar una función lineal empieza siempre con la reflexión, después aplica la dilatación y termina con la traslación.

El orden en las transformaciones geométricas sí importa porque afecta el resultado final. Así que sigue el orden que se da en el tip anterior. Ahora recordaremos cómo graficar una función polinomial de segundo grado, es decir, una parábola.


Ejemplo 8

Grafica la función: y = x^2.

Esta función polinomial en palabras dice: El número que tú le asignes a la variable x lo multiplicaré por sí mismo (es decir, lo elevaré al cuadrado) y el resultado es el valor que le asignaré a la variable y.
Para graficar esta función observa que los valores de y siempre serán positivos (salvo cuando x=0), independientemente del signo de x.

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Observa que esta fución es polinomial. Además, dado que x^2 nunca toma valores negativos, la gráfica de esta función abarca todo el lado positivo del eje y. Con esto, podemos afirmar que el contradominio de esta función es el conjunto de todos los números reales no negativos. Matemáticamente, el contradominio de esta función es: \{x \geq 0, x \in \mathbb{R}\}.


Observa que, para la función y = x^2 se cumple f(-x) = f(x) para toda x.


Función par

Una función es par si para toda x que sea elemento de su dominio se cumple que f(x) = f(-x).


A partir del ejemplo anterior es muy fácil realizar el siguiente.


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