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Graficación de funciones

Aprenderás algunas transformaciones que se pueden realizar en las gráficas de las funciones.

La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos ayuda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando.

A partir de la gráfica de la función podemos encontrar el dominio, el contradominio, describir su comportamiento: dónde crece, dónde decrece, dónde se hace cero, dónde tiene un mínimo o un máximo, etc.

Para graficar una función de la manera más sencilla, basta sustituir valores de x en la función y calcular los valores correspondientes para y, ubicar estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y unir los puntos por una curva suave.

En el análisis que se presenta aquí no usaremos ese método. En su lugar, describiremos cómo se comporta la función y haremos un estudio más bien descriptivo. El objetivo consiste en que tú logres ver la gráfica de la función antes de empezar a graficarla, es decir, que conozcas el comportamiento de la función, más que los puntos precisos por donde pasa.

Algunas veces no se requiere precisión, sino un bosquejo es suficiente para obtener la información que requerimos.

Por ejemplo, cuando queremos saber si la población de una especie en peligro de extinción va a salir de esa denominación: en peligro de extinción, debemos estudiar cómo se comporta el modelo matemático (que en este caso en una función que nos dice cuántos individuos de esa población habrá dependiendo del tiempo). No nos interesa saber cuántos habrá en diez o veinte años, sino si crecerá lo suficiente como para que ya no corra el peligro de extinguirse.


Ejemplo

Grafica la función: y = x.

La gráfica de esta función es inmediata. Esta función, estrictamente hablando, no transforma los valores de x que le damos.
En palabras dice: el mismo valor que me des de x, se lo asignaré a la variable y, sin hacerle ningún cambio.
En realidad no requerimos tabular distintos valores de x y calcular los valores de y. La gráfica de esta función forma un ángulo de 45° con ambos ejes:

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En la gráfica se observa claramente que a cada valor de x le corresponde un valor de y. En este caso y = x, que es como se definió la función.
Encuentra el dominio y el contradominio de esta función. Recuerda que esta función es polinomial.



Ejemplo

Grafica la función: y = x + 1.

La gráfica de esta función es hermana de la anterior.
Esta función, en palabras dice: al valor que me des de x le sumaré 1, y ese valor se lo asignaré a la variable y.
De nuevo, no requerimos tabular distintos valores de x y calcular los valores de y.
La gráfica de esta función forma un ángulo de 45\textdegree con ambos ejes, como la anterior, pero ahora no pasa por el origen del sistema de coordenadas:

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La gráfica en palabras nos dice: A los antiguos valores de y (de la función y = x) les sumo 1; en otras palabras, estoy moviendo la gráfica de la función y = x una unidad hacia arriba y obtengo la gráfica de la función y = x+1.



Ejemplo

Grafica la función: y = x - 1.

La gráfica de esta función es hermana de las dos anteriores.
Esta función, en palabras dice: al valor que me des de x le restaré 1, y ese valor se lo asignaré a la variable y.
Como la gráfica anterior, ésta no pasa por el origen del sistema de coordenadas.
La gráfica de la función fue trasladada en una unidad también, pero ahora hacia abajo:

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La gráfica en palabras nos dice: A los antiguos valores de y (de la función y = x) les resto 1; en otras palabras, estoy moviendo la gráfica de la función y = x una unidad hacia abajo y obtendo la gráfica de la función y = x - 1.


A partir de estos tres ejemplos tú fácilmente puedes graficar la función y = x+k, donde k es un número real.


Traslación vertical

Si a la gráfica de la función y = f(x) la trasladamos verticalmente k unidades, obtenemos la gráfica de la función y = f(x) + k.


Ahora veremos una nueva transformación.


Ejemplo

Grafica la función: y = 2\,x.

La gráfica de esta función es hermana de las anteriores.
Esta función, en palabras dice: al valor que me des de x lo multiplicaré por 2, y ese valor se lo asignaré a la variable y.

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Al comparar las dos gráficas, vemos que la transformación consistió en un cambio en la inclinación de la recta. Ahora tiene una pendiente mayor.



Ejemplo

Grafica la función: \displaystyle y = \frac{1}{2}\,x.

La gráfica de esta función es el reflejo de la función y = 2\,x respecto a la función y = x. Esta función, en palabras dice: al valor que me des de x lo multiplicaré por \displaystyle\frac{1}{2}, y ese valor se lo asignaré a la variable y.

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En el ejemplo anterior la altura de cada punto aumentó al doble; en este ejemplo la altura disminuyó a la mitad.



Dilatación

Si a la gráfica de la función la transformamos de manera que la altura de cada uno de sus puntos lo multiplicamos por la constante k, entonces obtenemos la gráfica de la función y = k\cdot f(x).


Hasta aquí hemos visto dos transformaciones: traslación vertical, cuando le sumamos una constante a la función, su gráfica se corre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de que el valor de la constante sea positivo o negativo; dilatación, que ocurre cuando multiplicamos la variable x por un número, la gráfica se estira si el coeficiente (el número que usamos para multiplicar) es mayor que 1, o se hace más chaparra o se aplana cuando el coeficiente es menor a 1 y mayor a cero.

Ahora trabajaremos con una nueva transformación. Esta transformación se llama reflexión (respecto al eje x) y consiste en multiplicar la variable x por un número negativo. Empezamos con el caso más sencillo.


Ejemplo

Grafica la función: y = -x.

Esta función es un reflejo de la función: y = x respecto del eje x.
En palabras dice: …nada más le voy a cambiar el signo al valor que me des de x, y el resultado se lo voy a asignar a y.

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Si comparamos esto con la función: y = x la gráfica diría: …a lo que antes era positivo ahora lo consideraré negativo, y viceversa, lo que antes era negativo, ahora lo consideraré positivo… Así que lo que antes estaba arriba del eje x, ahora estará por debajo, y a la misma distancia del eje, y viceversa, lo que antes estaba por encima del eje x ahora estará por debajo, y a la misma distancia.

El nombre de esta transformación viene del hecho que parece que la gráfica de la función y = x se reflejó respecto al eje x (como si el eje x fuera un espejo).

Debes observar que en este caso la pendiente de la recta m=-1, es decir, es negativa y la gráfica de la función desciende conforme avanzamos en la dirección positiva del eje x. Esto indica que la función siempre decrece. Por cada unidad que nos movemos hacia la derecha, la gráfica de la función desciende uno. Es decir, por cada uno que nos movemos en la dirección positiva del eje x la gráfica se mueve uno hacia abajo en el sentido del eje y.



Ejemplo

Grafica la función: y = -2\,x + 1.

Realizaremos la gráfica de esta función en 4 pasos:

  • Paso 1: Graficamos la función y = x.
  • Paso 2: Hacemos la reflexión del la gráfica anterior para obtener la gráfica de la función y = -x.
  • Paso 3: Dilatamos la función y = -x multiplicándola por 2, así obtenemos la gráfica de la función: y = -2\,x.
  • Paso 4: Hacemos una traslación vertical: sumamos 1 a la función anterior y obtenemos la gráfica de: y = -2\,x+1

Cada uno de los pasos se muestra en la siguiente gráfica:

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Ahora encuentra la pendiente de la recta y tanto el dominio como el contradominio de la función.


En realidad, graficar una función lineal es muy sencillo. Solamente tienes que pensar en términos de las transformaciones sucesivas que se realizaron sobre las gráficas.

Para graficar una función lineal empieza siempre con la reflexión, después aplica la dilatación y termina con la traslación.

El orden en las transformaciones geométricas sí importa porque afecta el resultado final. Así que sigue el orden que se da en el tip anterior. Ahora recordaremos cómo graficar una función polinomial de segundo grado, es decir, una parábola.


Ejemplo

Grafica la función: y = x^2.

Esta función polinomial en palabras dice: El número que tú le asignes a la variable x lo multiplicaré por sí mismo (es decir, lo elevaré al cuadrado) y el resultado es el valor que le asignaré a la variable y.
Para graficar esta función observa que los valores de y siempre serán positivos (salvo cuando x=0), independientemente del signo de x.

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Observa que esta fución es polinomial. Además, dado que x^2 nunca toma valores negativos, la gráfica de esta función abarca todo el lado positivo del eje y. Con esto, podemos afirmar que el contradominio de esta función es el conjunto de todos los números reales no negativos. Matemáticamente, el contradominio de esta función es: \{x \geq 0, x \in \mathbb{R}\}.


Observa que, para la función y = x^2 se cumple f(-x) = f(x) para toda x.


Función par

Una función es par si para toda x que sea elemento de su dominio se cumple que f(x) = f(-x).


A partir del ejemplo anterior es muy fácil realizar el siguiente:


Ejemplo

Grafica la función: y = x^2 - 1.

Esta función polinomial en palabras dice: El número que tú le asignes a la variable x lo multiplicaré por sí mismo, al resultado le restaré 1 y el valor así obtenido se lo asignaré a la variable y. Para graficar esta función observa que se transformó la función anterior con una traslación vertical.

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Ahora encuentra el dominio y el contradominio de esta función.

Sugerencia: Observa la gráfica y el eje y. ¿Te dice esto algo respecto al contradominio de la función?
Se te queda como ejercicio verificar si esta función es par.



Ejemplo

Grafica la función: y = -x^2 + 5.


Graficamos esta función con los siguientes pasos:

  • Paso 1: Graficamos la función y = x^2
  • Paso 2: Hacemos una reflexión respecto al eje x multiplicando por -1, así obtenemos la gráfica de la función: y = -x^2
  • Paso 3: Hacemos una traslación vertical sumando 5 a la función; así obtenemos la gráfica de la función: y = -x^2+5

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En el primer paso obtenemos la gráfica de la parábola. En el segundo paso hemos encontrado su reflejo respecto al eje x. Observa que multiplicar por el signo negativo solamente refleja la gráfica respecto al eje x.

En el tercer paso hacemos la traslación del al última gráfica 5 unidades hacia arriba.



Ejemplo

Grafica la función: y = 2\,x^2 - 3.


De nuevo, realizamos la gráfica de esta función por pasos:

  • Paso 1: Graficamos la función y = x^2
  • Paso 2: Dilatamos la gráfica multiplicando la función por 2; así obtenemos la gráfica de y = 2\,x^2.
  • Paso 3: Hacemos una traslación vertical restando 3 a la función y = 2\,x^2; así obtenemos la gráfica de y = 2\,x^2 - 3.

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Observa que ahora no hemos usado la reflexión, porque el término cuadrático no es negativo. Sin embargo, aparece multiplicado por dos, por eso usamos la dilatación.


Ahora estudiaremos una última transformación: la traslación horizontal.


Ejemplo

Grafica la función: y = (x-1)^2.


Como el binomio x-1 está elevado al cuadrado, la parábola abre hacia arriba.

La primer pregunta que debes hacerte cuando tengas este tipo de función es: ¿qué valor debe darle a x para que y tenga el mínimo valor?… o en otras palabras: ¿qué valor de x hace que x - 1 sea igual a cero? Y la respuesta es: si x=1, entonces x-1=0.

Entonces, la función: y = (x-1)^2, tiene su vértice en el punto (1,0). Es decir, y = x^2 (que tiene su vértice en (0,0)) se trasladó horizontalmente hacia la derecha en una unidad. En otras palabras, sufrió una traslación horizontal.

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Calcula el dominio y contradominio de esta función.



Ejemplo

Grafica la función: y = (x + 2)^2.


Como el binomio x+2 está elevado al cuadrado, la parábola abre hacia arriba. ¿Qué valor de x hace que x+2 sea igual a cero? Y la respuesta es: si x=-2, entonces x + 2 = 0. Entonces, la función: y = (x+2)^2, tiene su vértice en el punto (-2,0). Es decir, y = x^2 (que tiene su vértice en (0,0)) se trasladó horizontalmente hacia la izquierda en dos unidades.

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Calcula el dominio y el contradominio de esta función.



Traslación horizontal

Si a la gráfica de la función y = f(x) la trasladamos horizontalmente k unidades, (con k > 0 la traslación ocurre hacia la izquierda y con k < 0 hacia la derecha) obtenemos la gráfica de la función y = f(x + k).


Con esta transformación podemos graficar fácilmente cualquier función cuadrática. En caso de que encuentres una función de la forma: y = a\,x^2 + b\,x + c, basta completar cuadrados (si no recuerdas cómo completar cuadrados, debes estudiarlo de nuevo) y convertir la función a la forma: y = (x - \alpha)^2 + \beta.

El número \alpha causa una traslación horizontal; el número \beta causa una traslación vertical. El peor de los casos tendremos una función de la forma: y = k\,(x - \alpha)^2 + \beta, con k < 0, es decir un número negativo, lo que indica una dilatación junto con una reflexión respecto al eje x.

Como ves, el álgebra elemental (productos notables y factorización) se requiere para realizar el procedimiento. El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos.


Ejemplo

Grafica la función: y = x^2 - 4\,x + 1.

Método 1: Completando cuadrados

Primero debes observar que es una función cuadrática, y que se trata de una parábola. Vamos a completar cuadrados.

    \begin{eqnarray*}    y&=&x^2-4\,x+1\\    &=&(x^2-4\,x+1)+(4-4)\\    &=&(x^2-4\,x+4)+(1-4)\\    &=&(x-2)^2-3\\\nonumber \end{eqnarray*}

En esta forma, es mucho más fácil y rápido hacer la gráfica de la función. Para completar cuadrados más fácilmente, calcula la mitad del coeficiente del término lineal, en este caso, la mitad de -4 es -2, y usa ese valor para completar el binomio.

He aquí un segundo método de llegar al mismo resultado.

Método 2. Fórmula general

Encontramos las raíces de la función, es decir, los puntos donde la gráfica corta al eje x, con la ayuda de la fórmula general:

    \begin{equation*}    x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}

En este caso: a=1,b=-4 y c=1. Sustituimos los valores en la fórmula general y resolvemos para encontrar los valores de x:

    \begin{eqnarray*}    x&=&\frac{4\pm\sqrt{16-4\,(1)(1)}}{2\,(1)}\\    &=&\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}\\    &=&\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}\\    &=&2\pm\sqrt{3} \end{eqnarray*}

Ahora ubicamos los puntos:

    \begin{equation*}    x_1=2+\sqrt{3}\qquad \mbox{ y }\qquad x_2=2-\sqrt{3} \end{equation*}

en el eje x y a partir de estos graficamos la parábola. Sabemos que la parábola abre hacia arriba. En caso de que quieras mayor precisión, podemos usar la información del método 1, el vértice se encuentra en el punto (2,-3).

Método 3. Geométricamente

Usando la interpretación geométrica de las raíces de la ecuación cuadrática, podemos fácilmente encontrar las coordenadas del vértice:

    \begin{equation*}    x_v = -\frac{b}{2\,a} = -\frac{-4}{2\,(1)} = 2 \end{equation*}

Y la ordenada del vértice es: y(2) = (2)^2 - 4\,(2) + 1 = -3. Entonces, el vértice es: (2,-3). Sabemos que la parábola abre hacia arriba porque el coeficiente del término cuadrático es positivo, y ya podemos hacer un bosquejo de la gráfica de la función.

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Ahora tú encuentra el dominio y el rango de esta función.


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