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Gráficas de las funciones racionales

Aprenderás a graficar funciones racionales y a calcular sus asíntotas en caso de que tengan.


Ahora vamos a resolver un ejemplo que es a la vez muy parecido al anterior y también muy diferente. Ya verás por qué.


Ejemplo 5

Grafica la función racional:

    \begin{equation*}    y = \frac{x}{x^2 - 1} \end{equation*}

Este problema es muy parecido al anterior porque la función solamente cambia en un signo. Pero este cambio ocasiona que ahora aparezcan dos asíntotas, lo que hace que a la vez sea muy diferente. Empezamos calculando las raíces del polinomio denominador:

    \begin{equation*}    x^2 - 1 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x^2 = 1\qquad\Rightarrow\qquad x = \pm\sqrt{1} \end{equation*}

Las asíntotas están en x=1, y en x=-1. Estudiemos los signos en los intervalos que se forman. Para eso vamos a reescribir la ecuación de la siguiente forma factorizada:

    \begin{equation*}    y = \frac{x}{(x-1)(x+1)} \end{equation*}

Como el numerador se hace cero cuando x=0, tenemos cuatro intervalos:

     \begin{minipage}{0.495\textwidth} 	\textbf{Primer Intervalo:} $(-\infty,-1)$. 	% 	\begin{equation*} 	y = \frac{-}{(-)(-)} = - 	\end{equation*} 	% 	\textbf{Segundo Intervalo:} $(-1,0)$. 	% 	\begin{equation*} 	y = \frac{-}{(-)(+)} = + 	\end{equation*} 	% \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.495\textwidth} 	\textbf{Tercer Intervalo:} $(0,1)$. 	% 	\begin{equation*} 	y = \frac{+}{(+)(-)} = - 	\end{equation*} 	% 	\textbf{Cuarto Intervalo:} $(1,-\infty)$. 	% 	\begin{equation*} 	y = \frac{+}{(+)(+)} = + 	\end{equation*} 	%			 \end{minipage}

A continuación se muestra la gráfica de esta función:

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El dominio de esta función es \mathbb{R} - \{-1,1\}.
Su contradominio es: \mathbb{R}, gracias a la rama del intervalo (-1,1).


Compara las funciones y sus gráficas de los dos últimos ejemplos.

¿Cuál crees que es la razón del que las dos funciones, a pesar de ser tan parecidas tengan gráficas muy diferentes? Ahora observa que para que x^2 - 1 > 0 se requiere que x^2 > 1. Por eso, en el intervalo (-1,1) el denominador es negativo. Algo nuevo en el último ejemplo consiste en que esta función tiene una raíz, y está en x = 0.


Ejemplo 6

Grafica la función racional:

    \begin{equation*}    y = \frac{1}{x\,(x+1)(x-1)} \end{equation*}

En esta función el denominador tiene 3 raíces: x = 0, x = -1 y x = 1. Debido a esto la gráfica de la función tiene 3 asíntotas en esos puntos. Vamos a estudiar los signos de y en los intervalos que se forman debido a las asíntotas.

     \begin{minipage}{0.495\textwidth} 	\textbf{Primer intervalo:} $(-\infty,-1)$ 	% 	\begin{equation*} 	y = \frac{+}{(-)(-)(-)} = - 	\end{equation*} 	% 	\textbf{Segundo intervalo:} $(-1,0)$ 	% 	\begin{equation*} 	y = \frac{+}{(-)(+)(-)} = + 	\end{equation*} 	% \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.495\textwidth}	 	\textbf{Tercer intervalo:} $(0,1)$ 	% 	\begin{equation*} 	y = \frac{+}{(+)(+)(-)} = - 	\end{equation*} 	% 	\textbf{Cuarto intervalo:} $(1,\infty)$ 	% 	\begin{equation*} 	y = \frac{+}{(+)(+)(+)} = + 	\end{equation*} 	% \end{minipage}

La gáfica de la función es la siguiente:

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Hasta aquí hemos visto funciones racionales con asíntotas horizontales, por ejemplo, el eje x. Algunas otras funciones presentan asíntotas verticales, por ejemplo x = 1. Hay todavía otra posibilidad. Una asíntota también puede ser inclinada. Este caso ocurrirá cuando n = m+1, es decir, cuando el grado del polinomio del numerador sea mayor al grado del polinomio del denominador en una unidad.

Para calcular la ecuación de la asíntota inclinada es una buena idea hacer la división que indica la función racional. El resultado nos dirá cómo se comportan los valores de y cuando los valores de x estén suficientemente alejados de las asíntotas. El siguiente ejemplo considera ese caso.


Ejemplo 7

Estudia analíticamente la función:

    \begin{equation*}    y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \end{equation*}

Para conocer cómo se comportan los valores de y cuando x crece mucho, dividiremos en el numerador como en el denominador entre 3\,x:

    \begin{equation*}    \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{\displaystyle\frac{x^2 + 1}{x}}{\displaystyle\frac{x - 1}{x}}     = \frac{x + \displaystyle\frac{1}{x}}{1 - \displaystyle\frac{1}{x}} \end{equation*}

Por el denominador, sabemos que una asíntota vertical está en x = 1. Más aún, cuando x = 0, y = -1. Observa que el numerador siempre es positivo. Esto nos dice dos cosas:

  • que el signo del cociente depende del denominador, y
  • que esta función no corta al eje x.

Cuando x es muy grande, los segundos términos de cada parte de la fracción se hacen muy pequeños. Entonces, los valores de y cuando x es crece mucho tienden a crecer a la misma rapidez que x. Esto indica que crece igual de rápido que una recta de pendiente 1. Es decir, la gráfica de esta función cuando x se va a \infty ó a -\infty se parece mucho a una recta con pendiente 1.

En este caso, la gráfica de la función no presenta asíntota horizontal, pues si tuviera, no podría tener una asíntota inclinada. Para calcular la ecuación de la asíntota se sugiere realizar la división indicada en la definición de la función racional. Al realizar la división obtenemos:

    \[\begin{array}{rrrrrr} \setlength{\arraycolsep}{.1111em}  					& x &+& 1\\  				\cline{2-6} \multicolumn{1}{r|}{x-1} & x^2  & &      &+& 1 \\ 					& -x^2 &+& x          \\\cline{2-4} 					&      & & x    &+& 1 \\ 					&      &-& x    &+& 1 \\\cline{4-6} 					&      & & 0\,x &+& 2 \end{array}\]

Entonces, la asíntota inclinada (u oblicua) es: y= x + 1. Observa que la pendiente de la recta coincide con la que se dedujo en en análisis inicial. Enseguida se muestra la gráfica de esta función:

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Verifica si los puntos P(2,5) y Q(3,5) están sobre la gráfica de la función. Se te queda como ejercicio calcular el dominio y el contradominio de esta función.

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