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Gráficas de las funciones racionales

Aprenderás a graficar funciones racionales y a calcular sus asíntotas en caso de que tengan.


Podemos generalizar los ejemplos anteriores y considerar casos en los que el denominador de la función racional tenga más de una raíz.


Ejemplo 3

Estudia analíticamente la función racional:

    \begin{equation*}    y = \frac{1}{(x+1)(x-2)} \end{equation*}

Empezamos calculando las raíces del denominador:

    \begin{eqnarray*}    (x+1)(x-2) = 0 \qquad&\Rightarrow&\\    x+1 = 0 \qquad & \Rightarrow & x = -1\\    x - 2 = 0 \qquad & \Rightarrow & x = 2 \end{eqnarray*}

Entonces, esta función no está definida para x = -1 ni para x = 2. La gráfica de esta función tiene tres ramas. Las ramas de la gráfica se formaron porque las raíces del denominador son puntos donde la gráfica tiene una discontinuidad. Observa que se formaron 3 intervalos: (-\infty, -1), (-1,2) y (2,\infty).

Ahora vamos a estudiar los signos de esta función en los intervalos que se forman. Como el numerador siempre es positivo, el signo del cociente es igual al signo del denominador. Cuando x < -1 el signo del cociente es positivo (\mathrm{sgn}(y) significa el signo de y):

    \begin{equation*}    \mathrm{sgn}(y) = \frac{+}{(-)(-)} = + \end{equation*}

Para el siguiente intervalo, cuando el valor de x está entre x=-1 y x = 2, el signo es negativo:

    \begin{equation*}    \mathrm{sgn}(y) = \frac{+}{(+)(-)} = - \end{equation*}

Y para el último intervalo, cuando x>2 el signo del cociente es positivo:

    \begin{equation*}    \mathrm{sgn}(y) = \frac{+}{(+)(+)} = + \end{equation*}

Con esta información sabemos por dónde pasa la gráfica de la función. Sustituyendo algunos valores podemos obtener mayor información para poder hacer un bosquejo de la gráfica. Por ejemplo, cuando x=0, tenemos que y = -1 / 2. La gráfica de esta gráfica se muestra enseguida:

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El dominio de esta función es evidente de su gráfica: \mathbb{R}- \{-1,2\}. Pero el contradominio no es tan sencillo.
Sabemos que el intervalo (0,\infty) es parte del contradominio. Pero para la parte negativa, no sabemos, porque no conocemos cuál es de punto máximo de la rama que está en el intervalo (-1,2). Por simetría, parece que el máximo está a la misma distancia de las dos aristas.

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Vamos a calcular el valor de y en ese punto:

    \begin{equation*}    y(0.5) = \frac{1}{(1.5)(-1.5)} = -\frac{1}{2.25} = -\frac{4}{9} = - 0.\overline{4} \end{equation*}

Vamos a suponer que ese valor es el máximo que toma esa rama de la gráfica de la función. Entonces, el contradominio sería: \left(-\infty,-\frac{4}{9}\right] \cup (0,\infty).


Observa que no podemos asegurar que el contradominio está correcto, porque no tenemos cereza de que el máximo de la rama de la gráfica de la función esté exactamente en el punto que propusimos. Para los ejemplos de esta sección con una aproximación así será suficiente. Sí hay una manera de calcular el máximo de una función en un intervalo, pero eso lo estudiaremos el siguiente semestre. Por ahora con una aproximación así se considerará correcto.


Ejemplo 4

Grafica la función racional:

    \begin{equation*}    y = \frac{x}{x^2 + 1} \end{equation*}

Si tratamos de resolver la pregunta: ¿para qué valores de x el denominador de la función se hace cero?, veremos que:

    \begin{equation*}    x^2 + 1 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x^2 = -1 \end{equation*}

Que nos indica que el denominador de esta función nunca se hace cero. Esto a su vez nos dice que la gráfica de esta función no tiene asíntotas verticales. Y esto es así porque la función está definida para cualquier valor real de x. Pero hay algo más en esta función.

Observa que el numerador ahora es el monomio: x. Dado que el denominador siempre es positivo, el signo de la función está determinado por el signo del numerador. Cuando x < 0 el signo de y será negativo y cuando x > 0 el signo de y será positivo. Pero cuando x = 0, todo el cociente se hace cero:

    \begin{equation*}    y(0) = \frac{0}{1} = 0 \end{equation*}

Esto nos indica que la gráfica de la función pasa por el origen.

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Como esta función está definida para cualquier valor de x, su dominio es \mathbb{R}. El contradominio de esta función al parecer es [-0.5:0.5].



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