Gráficas de las funciones racionales

Dado que la plataforma es reciente en nuestro sitio, suponemos que algunos requieren de ayuda para crear una cuenta de usuario. Acabo de crear un video en donde explico en menos de dos minutos cómo crearla. Espero que sea de utilidad.

Ahora vamos a estudiar de una manera geométrica las ideas de comportamiento de los valores que toma la función cuando los valores de
crecen mucho. Es importante que hayas entendido los argumentos que se dieron en la sección anterior para poder justificar por qué las gráficas de cada función tienen la forma que se muestra en cada ejemplo.

Empezamos con un ejemplo muy sencillo de función racional.

Ejemplo 1

Estudia analíticamente la gráfica de la función racional:

Calcula su dominio y su contradominio.

La primera pregunta que debes hacer al encontrar una función racional es:

¿Qué valor de hace que el denominador de la función sea cero?

En este caso la respuesta es muy sencilla:

Si , entonces, .

Entonces, la función no está definida cuando , porque en ese caso tenemos división entre cero. En ese punto la función no tiene gráfica. Observa que el signo del cociente depende del denominador, porque el numerador siempre es positivo.

Para valores en los que , el resultado de es positivo. Entonces, los resultados del cociente también serán positivos. Por otra parte, cuando , se tiene que . Ahora los valores de serán negativos.

Como en la cercanía del punto , los valores del cociente crecen mucho, la gráfica de la función se va a infinito por un lado y a menos infinito por el otro. Para calcular el dominio de la función vamos a responder la pregunta:

¿Para qué valores de la función asigna valores a ?

La respuesta a esta pregunta es: para todos los números reales, excepto . La excepción del 2 se debe a que cuando el denominador se hace cero y la división no tiene sentido entonces.Este resultado se escribe así: .

El contradominio consiste en el conjunto de los números reales, excepto el cero. Eso es evidente de la gráfica y del análisis que se acaba de hacer. Entonces, el contradominio de la función es: .

Para justificar que el cero no está en el contradominio de la función observa que si existe algún valor para el cual , necesariamente debemos tener que . Aquí hemos llegado a una conclusión que no tiene sentido: . Esto nos indica que la suposición inicial no tiene sentido. Esa suposición inicial decía: existe algún valor para el cual , la cual es, entonces, falsa.

Ejemplo 2

Estudia analíticamente la gráfica de la función racional:

Calcula su dominio y su contradominio.

La primera pregunta que debes hacer al encontrar una función racional es:

¿Qué valor de hace que el denominador de la función sea cero?

La respuesta es muy sencilla: Si , entonces, . La función no está definida cuando ¿Puedes explicar por qué?

Para valores en los que , el resultado de es positivo. Entonces, los resultados del cociente también serán positivos. Y cuando , se tiene que , con lo que los valores de serán negativos. Como en la cercanía del punto los valores del cociente crecen mucho, la gráfica de la función se va a infinito por un lado y a menos infinito por el otro. La siguiente gráfica muestra esta situación:

De nuevo, la discontinuidad de la función aparece en el punto en el que el denominador se hace cero. El dominio de esta función corresponde al conjunto: . El contradominio consiste en el conjunto de los números reales, excepto el cero. Eso es evidente de la gráfica y del análisis que se acaba de hacer. Entonces, el contradominio de la función es: .