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Funciones trigonométricas recíprocas

Aprenderás la relación entre cada función trigonométrica directa y su correspondiente recíproca.

Ya se definieron las funciones trigonométricas. De las seis funciones definidas anteriormente, las funciones trigonométricas recíprocas son las siguientes:

  • \csc\theta
  • \sec\theta
  • \cot\theta

El adjetivo recíprocas viene del hecho que podemos establecer las siguientes identidades:

  • \sin\theta = \displaystyle\frac{1}{\csc\theta}
  • \cos\theta = \displaystyle\frac{1}{\sec\theta}
  • \tan\theta = \displaystyle\frac{1}{\cot\theta}

La demostración de esto es inmediata:

Demostración

    \begin{eqnarray*} \sin\theta &=& \frac{y}{r} = \frac{1}{\left(\displaystyle\frac{r}{y}\right)} = \frac{1}{\csc\theta}\\ \cos\theta &=& \frac{x}{r} = \frac{1}{\left(\displaystyle\frac{r}{x}\right)} = \frac{1}{\sec\theta} \\ \tan\theta &=& \frac{y}{x} = \frac{1}{\left(\displaystyle\frac{x}{y}\right)} = \frac{1}{\cot\theta} \end{eqnarray*}

Evidentemente, también se cumplen:

    \begin{eqnarray*} \csc\theta &=& \frac{1}{\sin\theta}\\ \sec\theta &=& \frac{1}{\cos\theta}\\ \cot\theta &=& \frac{1}{\tan\theta} \end{eqnarray*}

Estas identidades son equivalentes a las previas, esto es, se deducen a partir de las identidades previamente demostradas.

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