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Funciones trigonométricas para ángulos agudos

Aprenderás la definición de las funciones trigonométricas.

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la resolución de triángulos.


Trigonometría

Es la rama de las matemáticas que estudia las proporciones de los lados y los ángulos de los triángulos en el plano, sus aplicaciones y relaciones entre las funciones trigonométricas.

En la geometría, para calcular los lados de un triángulo, casi nunca considera las magnitudes de los ángulos. Por el contrario, en trigonometría, la resolución de triángulos, siempre vamos a utilizar los ángulos internos del triángulo para calcular las longitudes de los lados desconocidos. Con este fin, en la trigonometría se definen las funciones trigonométricas.


Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son razones que caracterizan a un ángulo, de acuerdo a la proporción de dos lados de un triángulo que tiene por ángulo interno al ángulo en consideración. Las funciones trigonométricas son las siguientes:

  • Seno (\sin\theta)
  • Coseno (\cos\theta)
  • Tangente (\tan\theta)
  • Cosecante (\csc\theta)
  • Secante (\sec\theta)
  • Cotangente (\cot\theta)

Las funciones trigonométricas caracterizan a un ángulo \theta. En un triángulo rectángulo, las proporciones de sus lados nos dan una idea de los ángulos que lo forman. Esta idea es la que nos ayuda a definir las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

En el triángulo rectángulo, las seis funciones trigonométricas se definen como sigue:

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Ejemplo 1

Calcula los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo \theta = 30\textdegree mostrado en el siguiente triángulo rectángulo:

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Calculamos los valores de cada una de las funciones trigonométricas a partir de la definición dada en el triángulo rectángulo:

     % \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{eqnarray*} \sin 30\textdegree &=& \frac{y}{r} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\ \cos 30\textdegree &=& \frac{x}{r} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan 30\textdegree &=& \frac{y}{x} = \frac{2}{2\,\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{eqnarray*} \csc 30\textdegree &=& \frac{r}{y} = \frac{4}{2} = 2\\ \sec 30\textdegree &=& \frac{r}{x} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\,\sqrt{3}}{3}\\ \cot 30\textdegree &=& \frac{x}{y} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \end{eqnarray*} \end{minipage} %


Conversión de grados a radianes

Para medir la magnitud de un ángulo, además de los grados sexagesimales tenemos otra unidad de medida conocida como el radián.


Radián

Unidad de medida de ángulo que es igual al ángulo que subtendido por un arco de longitud igual al radio. El radián se abrevia como \mathrm{rad}

En la siguiente figura se muestra el ángulo \theta que mide un radián:

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Como el radio cabe 2\pi \approx 6.2831853 veces en el perímetro de la circunferencia, tenemos que 2\pi\,\rad = 360\textdegree. Por lo tanto, para hacer la conversión de grados a radianes o de radianes a grados aplicaremos una regla de tres directa.


Ejemplo 2

Convierte 180\textdegree y 90\textdegree a radianes.

Aplicamos directamente la regla de tres:

    \begin{eqnarray*} \mbox{Grados} & \Rightarrow & \mbox{Radianes}\\\mbox{Datos conocidos: } \qquad\qquad 360\textdegree & \Rightarrow & 2\pi\,\rad\\\mbox{Para calcular: } \qquad\qquad 180\textdegree & \Rightarrow & x \end{eqnarray*}

De donde:

    \begin{equation*}    x = \frac{180\textdegree\,(2\pi\,\rad)}{360\textdegree} = \pi\,\rad \end{equation*}

Para el caso del ángulo recto:

    \begin{eqnarray*} \mbox{Datos conocidos: } \qquad\qquad 180\textdegree & \Rightarrow & \pi\,\rad\\ \mbox{Para calcular: } \qquad\qquad    90\textdegree & \Rightarrow & y \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    y = \frac{90\textdegree\,(\pi\,\rad)}{180} = \frac{\pi}{2}\,\rad \end{equation*}



Ejemplo 3

Convierte 1 radián a grados sexagesimales.

Aplicamos de nuevo la regla de tres:

    \begin{eqnarray*} \mbox{Grados} & \Rightarrow & \mbox{Radianes}\\\mbox{Datos conocidos: } \qquad\qquad 180\textdegree & \Rightarrow & \pi\,\rad\\\mbox{Para calcular: } \qquad\qquad x\textdegree & \Rightarrow & 1\,\rad \end{eqnarray*}

Al calcular el valor de x obtenemos:

    \begin{equation*}    1 \rad = x = \frac{180}{\pi}\textdegree \approx 57.29577951\textdegree = 57\textdegree 17' 44.81'' \end{equation*}

Si el valor de \pi fuera 3, la división daría 60\textdegree.
Al ser el valor de \pi > 3, el resultado de la división es ligeramente menor a 60\textdegree.



Ejemplo 4

¿Cuánto mide el ángulo interno del triángulo equilátero en radianes?

Ya sabemos que el ángulo interno del triángulo equilátero mide 60\textdegree. Vamos a convertirlo a radianes:

    \begin{eqnarray*} \mbox{Grados} & \Rightarrow & \mbox{Radianes}\\\mbox{Datos conocidos: } \qquad\qquad 180\textdegree & \Rightarrow & \pi\,\rad\\\mbox{Para calcular: } \qquad\qquad 60\textdegree & \Rightarrow & x \end{eqnarray*}

De donde obtenemos:

    \begin{equation*}    x = \frac{(60\textdegree)(\pi\,\rad)}{180\textdegree} = \frac{\pi}{3}\,\rad \end{equation*}


El procedimiento para convertir las unidades de un ángulo de grados a radianes y de radianes a grados es muy importante, porque frecuentmente vamos a requerir conversiones, no solamente en matemáticas, sino también en otras ramas de la ciencia como la física o la química.


Ejemplo 5

Una ciclista viaja a 6 m/s en una carrera. Si la llanta de su bicicleta tiene un diámetro de 50 cm ¿qué ángulo barre uno de los puntos sobre la llanta (respecto de su centro) en cada segundo?

Sabemos que en un segundo la llanta recorre 6 metros y que el diámetro de ésta es de 50 cm. Vamos a calcular cuántas vueltas da la llanta por segundo:

    \begin{equation*}    \omega = \frac{\mbox{Distancia recorrida}}{\mbox{Per\'imetro}}= \frac{600\mbox{ cm}}{50\mbox{ cm}} = 12\,\mathrm{rev/s} \end{equation*}

En una revolución completa recorre 360\textdegree, o bien 2\pi radianes. Pero como da 12 revoluciones en un segundo, el ángulo que barre un punto de la llanta respecto de su centro es:

    \begin{eqnarray*} \omega &=& 12\,\mathrm{rev/s} \left(360\textdegree/\mathrm{rev}\right) = 4320\textdegree/\mathrm{s}\\ \omega &=& 12\,\mathrm{rev/s} \left(2\pi\,\rad/\mathrm{rev}\right) = 24\pi\,\rad/\mathrm{s} \end{eqnarray*}

Las dos últimas magnitudes dadas son equivalentes. Cada una representa la misma velocidad angular.


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