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Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Aprenderás a analizar las funciones polinomiales de grados 3 y 4 con la intención de graficarlas.

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Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Empezamos con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados teóricos.


Función polinomial de tercer grado

La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma:

    \begin{equation*}    y = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \end{equation*}

donde a_3 \neq 0. La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica.



Ejemplo 1

La función polinomial de tercer grado más sencilla es:

    \begin{equation*}    y = x^3 \end{equation*}

Grafícala, encuentra sus raíces, dominio y contradominio.

Empezamos calculando sus raíces. Para que y=0 se requiere que x^3 = 0. En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos por sí mismo tres veces obtengamos cero. El único número que satisface la condición anterior es x=0. Esta es la única raíz de la función.

Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales. El contradominio se calcula de la sigiuente manera:

  • Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo alcubo es positivo también.
  • Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo.

Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho. Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos. La gráfica de la función se muestra a continuación:

Rendered by QuickLaTeX.com


Observa que la función f(x) = x^3 puede factorizarse como y = x\cdot x\cdot x.

Para encontrar una raíz de la función debemos contestar a la pregunta: ¿Qué número multiplicado por sí mismo tres veces es igual a cero? Y la respuesta es obvia: el número cero multiplicado por sí mismo nos da cero, (0)(0)(0) = 0. Es decir, x=0 es una raíz de la función, porque f(0) = 0.


Ejemplo 2

Grafica la siguiente función polinomial:

    \begin{equation*}    y = x^3 - x \end{equation*}

Calcula, además, sus raíces y su dominio y contradominio.

Empezamos calculando sus raíces. Para eso factorizamos la expresión:

    \begin{equation*}    y = x\cdot(x^2 - 1) = x\cdot (x + 1)\cdot (x - 1) \end{equation*}

De esta factorización calculamos fácilmente las raíces de la función. Para que el producto de los tres factores sea cero se requiere que al menos uno de ellos sea cero. Tenemos tres casos: x = -1, x=0, y x = 1. Por lo tanto, la función corta al eje x en x=-1, x=0 y x=1.

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De nuevo,el dominio es el conjunto de los números reales, por cerradura. Y el contradominio también, porque cuando los valores de x crecen f(x) crece. Esto ocurre para valores positivos como negativos. La gráfica de esta función es la siguiente:

Rendered by QuickLaTeX.com


Ahora observa que la función evaluada en x=-1, o en x=0, o en x=1 hace que f(x)=0, y que la factorización queda:

    \begin{equation*}    y = x^3 - x = x\cdot (x+1)\cdot (x+1) \end{equation*}

Es decir, si r es una raíz de la función polinomial y = f(x) de grado n, entonces podemos factorizarla como:

    \begin{equation*}    y = f(x) = (x - r)\cdot g(x) \end{equation*}

Donde g(x) es otra función polinomial de grado n-1.


Teorema

Sea y = P_n(x) una función polinomial de grado n. Si r es una de sus raíces, entonces la función polinomial puede dividirse exactamente entre x - r.


Demostración

Si la función se divide exactamente entre x-r entonces se puede factorizar como:

    \begin{equation*}    y = P_n(x) = (x - r)\cdot Q_{n - 1}(x) \end{equation*}

donde Q_{n-1}(x) es otro polinomio de grado n-1. Entonces,

    \begin{equation*}    P_n(r) = (r - r)\cdot Q_n(r) = 0\cdot Q_n(r) = 0 \end{equation*}

Esto nos indica que r es una raíz de la función.


Esta demostración está incompleta. Pero después de entender el procedimiento de la división sintética y que éste es equivalente a la evaluación de un polinomio en un punto, quedará evidente la segunda parte de la demostración.


División sintética

La división sintética entre dos polinomios se realiza utilizando solamente los coeficientes.



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