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Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Aprenderás a analizar las funciones polinomiales de grados 3 y 4 con la intención de graficarlas.

Contenido

1 Ejemplo 5
2 Teorema
3 Ejemplo 6
4 Ejemplo 7

Ejemplo 5

Sabiendo que $x = 3$ es una raíz de la función polinomial:

$\begin{equation*} y = {x}^{5}-3\,{x}^{4}-12\,{x}^{3}+36\,{x}^{2}+32\,x-96 \end{equation*}$

Calcula sus otras cuatro raíces.

Como $x = 3$ es una raíz, podemos dividir el polinomio entre $x - 3$ y debemos obtener como cociente un polinomio de grado 4:

$\begin{array}{rrrrrr|r} 1 & -3 & -12 & 36 & 32 & -96 & 3\\ & 3 & 0 & -36 & 0 & 96 & \\\hline 1 & 0 & -12 & 0 & 32 & 0\\ \end{array}$

Entonces, podemos expresar la función como:

$\begin{equation*} y = {x}^{5}-3\,{x}^{4}-12\,{x}^{3}+36\,{x}^{2}+32\,x-96 = (x - 3)(x^4 - 12\,x^2 + 32) \end{equation*}$

Ahora debemos factorizar el segundo factor. Para esto vamos a definir $u = x^2$ para poder reescribir el polinomio como se muestra a continuación:

$\begin{equation*} x^4 - 12\,x^2 + 32 = u^2 - 12\,u + 32 \end{equation*}$

Ahora debemos factorizar este polinomio cuadrático:

$\begin{equation*} u^2 - 12\,u + 32 = (u - 4)(u - 8) = (x^2 - 4)(x^2 - 8) \end{equation*}$

Para conocer las raíces igualamos a cero cada factor y despejamos $x$ :

$\begin{eqnarray*} x^2 - 4 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad &x^2 = 4& \qquad\Rightarrow\qquad x = \pm 2\\ x^2 - 8 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad &x^2 = 8& \qquad\Rightarrow\qquad x = \pm 2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Entonces, la factorización de este polinomio queda:

$\begin{equation*} (x^2 - 4)(x^2 - 8) = (x - 2)(x + 2)(x - 2\,\sqrt{2})(x + 2\,\sqrt{2}) \end{equation*}$

Y la función factorizada puede escribirse como:

$\begin{equation*} y = {x}^{5} - 3\,{x}^{4} - 12\,{x}^{3} + 36\,{x}^{2} + 32\,x - 96 = (x - 3)(x - 2)(x + 2)(x - 2\,\sqrt{2})(x + 2\,\sqrt{2}) \end{equation*}$

Esto nos ayuda a conocer las raíces de manera inmediata. Igualando cada factor a cero conocemos sus raíces: 3,2, $-2$ , $2\,\sqrt{2}$ y $-2\,\sqrt{2}$ .

Se te queda como ejercicio:

Verificar que $y(r) = P_5(r) = 0$ , siendo $r$ cada una de las raíces que se calcularon.
Graficar la función.
Calcular su dominio y contradominio.

En el primer ejemplo de esta sección se mencionó que para la función $y = x^3$ , cuando los valores de $x$ son positivos los valores de $y$ son positivos y cuando los valores de $x$ son negativos, los valores de $y$ también lo son.

En general, para cualquier función polinomial de grado impar, para valores suficientemente grandes de $x$ positivos, los valores de $y$ serán del mismo signo que el coeficiente principal de la función.

Igualmente, para valores suficientemente grandes y negativos de $x$ , los valores de $y$ tendrán el signo opuesto al que tiene el coeficiente principal de la función.

Observa que en una dirección del eje $x$ la función debe ser positiva y en la otra dirección debe ser negativa. Como la función es contínua, necesariamente debe cortar al eje $x$ en algún punto. Esto nos permite concluir el siguiente teorema.

Teorema

Cualquier función polinomial de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.

Ejemplo 6

Sabiendo que $x = 4$ es una raíz de la función polinomial de tercer grado:

$\begin{equation*} y = {x}^{3} - 15\,{x}^{2} + 68\,x - 96 \end{equation*}$

calcula sus demás raíces y grafícala.

En este caso $x = 4$ es una raíz, así que podemos usar la división sintética:

$\begin{array}{rrrr|r} 1 & -15 & 68 & -96 & 4\\ & 4 & -44 & 96 & \\\hline 1 & -11 & 24 & 0 & \\ \end{array}$

Así que:

$\begin{equation*} y = {x}^{3} - 15\,{x}^{2} + 68\,x - 96 = (x - 4)(x^2 - 11\,x + 24) \end{equation*}$

Ahora factorizamos el último factor:

$\begin{equation*} x^2 - 11\,x + 24 = (x - 3)(x - 8) \end{equation*}$

Y finalmente, podemos reescribir la función como:

$\begin{equation*} y = {x}^{3} - 15\,{x}^{2} + 68\,x - 96 = (x - 4)(x - 3)(x - 8) \end{equation*}$

De aquí vemos que las raíces de la función son: 4, 3 y 8. Ahora solamente falta graficarla. La siguiente gráfica se ha cortado a propósito por cuestiones de espacio. Tú ya sabes que toda función polinomial es contínua y que su dominio es el conjunto de los números reales.

Observa que el último teorema mencionadose refiere solamente a las funciones polinomiales de grado impar.

En el caso de las funciones de grado par, no necesariamente ocurre que tendrán al menos una raíz real, porque la traslación vertical puede hacer que la función no corte al eje. Para esto, basta con trasladar la gráfica de la función lo sificiente para que el mínimo o máximo de la función quede por arriba o debajo (según sea el caso) del eje $x$ .

Ejemplo 7

Grafica la función polinomial:

$\begin{equation*} y = x^4 + 1 \end{equation*}$

La gráfica de esta función es muy sencilla. Cuando $x = 0$ , $y = 1$ . Además, dado que el grado de la función polinomial es par, la función siempre es positiva (en este caso). También, el mínimo de esta función está en $x = 0$ .

Observa que esta función no tiene raíces reales, porque al igualar a cero el polinomio que define a la función obtenemos:

$\begin{equation*} x^4 + 1 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \pm\sqrt[4]{-1} = \pm\sqrt{\sqrt{-1}} = \pm\sqrt{i} \end{equation*}$

donde $i$ es la unidad imaginaria.

El ejemplo anterior sirve como un contraejemplo del último teorema aplicado a las funciones polinomiales de grado par.

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