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Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Aprenderás a analizar las funciones polinomiales de grados 3 y 4 con la intención de graficarlas.


El siguiente ejemplo ilustra la división sintética.


Ejemplo 3

Calcula:

    \begin{equation*}    (x^2-5\,x-10)\div (x-3)= \end{equation*}

utilizando la división sintética.

Para ilustrar la división sintética empezamos calculando la división utilizando el método normal o de la división larga. Colocamos el dividendo y el divisor en la casita:

    \[\begin{array}{rlr} ~ & ~~ & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{x - 3}& ~~x^2 - 5\,x - 10 & ~ \\ \end{array}\]

Ahora buscamos una expresión que multiplicada por x nos dé igual a x^2. Esa expresión es: x.

    \[\begin{array}{rlr} ~ & ~~x & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{x-3}& ~~x^2 - 5\,x - 10 & ~ \\ \end{array}\]

Multiplicamos la expresión que acabamos de encontrar por x-3. Igual que con la división con números, vamos a cambiar el signo al resultado y después sumamos algebraicamente.

    \[\begin{array}{rlr} ~ & ~~x & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{x-3}& ~~\cancel{x^2} - 5\,x - 10 & ~ \\ ~ & -\cancel{x^2} + 3\,x &~\\\cline{2-3} ~ & \hspace{5ex}- 2\,x & \\ \end{array}\]

A continuación bajamos el número -10 del divisor. Al igual que en el caso de la división con números, buscamos una expresión que multiplicada por x nos dé igual a: -2\,x. En este caso, necesitamos: -2. Ahora multiplicamos este número por x-3 y el resultado lo escribimos debajo del último renglón.

    \[\begin{array}{rlr} ~ & ~~x - 2 & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{x-3}& ~~x^2 - 5\,x - 10 & ~ \\ ~ & -\cancel{x^2} + 3\,x &~\\\cline{2-3} ~ & \hspace{5ex} - \cancel{2\,x} - 10 & \\ ~ & \hspace{5.5ex} \cancel{2\,x}-~6 &~\\\cline{2-3} ~ & \hspace{6ex} \qquad - 16 & \\ \end{array}\]

Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{x^2 - 5\,x - 10}{x - 3} = x - 2 - \frac{16}{x - 3} \end{equation*}

Ahora si, vamos a calcular el resultado usando la división sintética.

    \[\begin{array}{rrr|r} 1 & -5 & -10 & 3\\   &  3 & - 6 &  \\\hline 1 & -2 & -16 &  \end{array}\]

Para considerar un caso más general, supongamos que vamos a calcular el resultado de dividir el polinomio a_3\,x^3+a_2\,x^2+a_1\,x+a_0 entre x-k. De acuerdo al procedimiento que estamos utilizando obtenemos:

    \[\begin{array}{rrrr|r} a_3 & a_2         & a_1                    & a_0                                        & k \\     & a_3\,k      & a_3\,k^2 +a_2\,k       & a_3\,k^3 +a_2\,k^2 + a_1\,k                     &   \\\hline a_3 & a_3\,k +a_2 & a_3\,k^2 +a_2\,k + a_1 & \fbox{$a_3\,k^3 +a_2\,k^2 + a_1\,k + a_0$} & \end{array}\]

y en pasos:

  • Paso 1: \qquad a_3\,k
  • Paso 2: \qquad a_3\,k +a_2
  • Paso 3: \qquad \left(a_3\,k +a_2\right)\cdot k = a_3\,k^2 +a_2\,k
  • Paso 4: \qquad a_3\,k^2 +a_2\,k + a_1
  • Paso 5: \qquad \left(a_3\,k^2 +a_2\,k + a_1\right)\cdot k = a_3\,k^3 +a_2\,k^2 + a_1\,k
  • Paso 6: \qquad a_3\,k^3 +a_2\,k^2 + a_1\,k + a_0

que es precisamente el resultado de evaluar la función polinomial en x=k.


Entonces, si el residuo de la división (a_3\,k^3 +a_2\,k^2 + a_1\,k + a_0) es igual a cero, se sigue que k es una raíz de la función polinomial y además x-k es un divisor del polinomio a_3\,x^3 +a_2\,x^2 + a_1\,x + a_0. Con esto queda completa la demostración del último teorema.

Observa que este resultado se cumple para funciones polinomiales de cualquier grado. No es exclusivo para las de grado 3. Con esto hemos demostrado el siguiente teorema.


Teorema del residuo

Si el polinomio P_n(x) se divide entre x - a, el residuo de la división es igual al resultado de evaluar el polinomio en el punto x = a.



Ejemplo 4

Demuestra que x = 6 es una raíz de la función polinomial

    \begin{equation*}     y = {x}^{3} - 4\,{x}^{2} - 17\,x + 30 \end{equation*}

Por el teorema anterior, si al dividir el polinomio: {x}^{3}-4\,{x}^{2}-17\,x+30 entre x-6 obtenemos como residuo cero, entonces sí es una raíz de la función. Enseguida se muestra la división sintética correspondiente:

    \[\begin{array}{rrrr|r} 1 & -4 & -17 &  30 & 6\\   &  6 &  12 & -30 & \\\hline 1 &  2 & - 5 &   0 \\  \end{array}\]

Más aún, como y = {x}^{3} - 4\,{x}^{2} - 17\,x + 30 y sabemos que x = 6 es una raíz, podemos escribir:

    \begin{equation*}    y = (x - 6)(x^2 + 2\,x - 5) \end{equation*}

Usando la fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, podemos factorizar el polinomio cuadrático que está como factor en la función:

    \begin{equation*}    x^2 + 2\,x - 5 = \left(x + 1 - \sqrt{6}\right)\left(x + 1 + \sqrt{6}\right) \end{equation*}

Esto nos permite escribir la función como:

    \begin{equation*}    y = (x - 6)\left(x + 1 - \sqrt{6}\right)\left(x + 1 + \sqrt{6}\right) \end{equation*}

Se te queda como ejercicio graficar la función.


Observa que la función cuadrática: y = x^2 + x puede escribirse como:

    \begin{equation*}    y = x\cdot (x + 1) \end{equation*}

Y en general, cualquier función cuadrática y = a\,x^2 + b\,x + c tiene a lo más dos raíces que están dadas por la fórmula general:

    \begin{equation*}    x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}

Esto nos indica que una función polinomial puede expresarse como:

    \begin{equation*}    y = (x - r_1)(x - r_2) \end{equation*}

donde r_1 y r_2 son las raíces de la función.

Del último ejemplo vemos que una función cúbica y = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x + d puede descomponerse como:

    \begin{equation*}    y = (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3) \end{equation*}

y en general, una función polinomial de grado n puede descomponerse en n factores:

    \begin{equation*}    y = P_n(x) = a_n\,(x - r_1)(x - r_2)\cdots(x - r_n) \end{equation*}

En otras palabras, una función polinomial de grado n, a lo más tiene n raíces.

Observa que algunas de las raíces pueden estar repetidas. En este caso, tenemos que incluirlas todas, repetidas o no. Por ejemplo, la función polinomial:

    \begin{equation*}    y = (x - 1)(x - 2)(x - 2)(x + 3) \end{equation*}

tiene cuatro raíces, las cuales son 1, 2, 2, y -3. La raíz x=2 está repetida, pero debemos contarlas a las dos.


Teorema Fundamental del álgebra

Sea y = P_n(x) una función polinomial. Esta función tiene exactamente n raíces.


La función polinomial y = P_n(x) tiene exactamente n raíces, algunas de las cuales pueden ser complejas conjugadas.


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