En esta sección estudiaremos algunas funciones que son muy importantes en el estudio del análisis matemático.
Empezamos con algunos casos particulares de las funciones polinomiales.
Contenido
Función constante
El caso especial: , con
es una función polinomial de grado cero, conocida como función constante. En este caso,
en realidad no es una máquina que transforma números. Simplemente los ignora.
Por ejemplo, si nosotros asignamos , la máquina siempre nos devolverá el valor
. Y ese mismo valor devolverá idependientemente del valor que asignemos a
. Por eso no los transforma.
Puedes imaginar a la función constante como una máquina que no quiere batallar: simplemente te devuelve siempre el mismo valor. Geométricamente obtenemos una recta horizontal, pues el valor de no cambia:
Observa que la función no involucra a la literal , pues los valores que nos devolverá
no dependen de ninguna manera de los valores
que nosotros le vayamos dando.
También es una buena idea notar que la gráfica de esta función corta al eje vertical () en
. Esto es obvio, puesto que
siempre es igual a
, independientemente del valor del
que nosotros asignemos. En particular, cuando
,
. Por eso la ordenada al origen de esta función es el punto
.
Funciones escalonadas
Las funciones escalonadas tienen su nombre debido a que sus gráficas parecen escalones. En el ejemplo estudiado en la lección titulada Relaciones y funciones se explica un ejemplo que muestra una tabla con los importes del envío de paquetes de diferentes pesos.
Peso (gr) | Importe ($) | Peso (gr) | Importe ($) |
---|---|---|---|
![]() | 12.50 | ![]() | 43.50 |
![]() | 19.00 | ![]() | 49.35 |
![]() | 25.25 | ![]() | 55.20 |
![]() | 31.50 | ![]() | 61.00 |
![]() | 37.50 | ![]() | 66.50 |
Al graficar los datos de la tabla obtenemos la siguiente gráfica escalonada:
En el ejemplo mencionado se explica por qué esta relación sí es una función.
Además, se trata de una función escalonada.
Ejemplo 1
Grafica la función piso, que se denota por: , y que se define como sigue:
Por ejemplo, , porque 3 es el número entero más grande que es menor que
.
, porque 5 es el número entero más grande que es menor que
.
Considerando que , entonces,
.
, porque
.
, porque
.
Observa que la función piso solamente ignora los decimales del número y lo deja como un entero.
Otra forma de definir la función es: es la función que trunca todos los dígitos a la derecha del punto decimal del número.
La gráfica de esta función es la siguiente:
¿Puedes justificar por qué está definida en el punto (
) a partir de la definición?
Otra función escalonada es la función cielo que se denota por , y que se define por:
Por ejemplo , porque 4 es el menor número entero que es mayor que
. Se te queda como ejercicio elaborar la gráfica de esta función.
Funciones compuestas
La composición de funciones se puede interpretar de dos maneras distintas.
- (a) Suma de dos o más funciones diferentes para obtener una nueva función.
- (b) Sustituir una función en otra función para obtener una nueva función.
Ejemplo 2
Considera la función:
como una función compuesta y muestra sus funciones componentes, es decir, sus distintas partes.
La función está compuesta como la suma de las funciones:
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. El dominio de la función
es el conjunto de los números reales no negativos. Entonces, el dominio de la función compuesta:
es , con
. Observa que tomamos la intersección de los dominios de las funciones
y
, porque, por ejemplo, si
, la función
sí puede transformar este valor, es decir,
sí está en el dominio de
, pero no está en el dominio de
porque
.
En este sentido, una función polinomial
es una función compuesta cuyas funciones componentes son los monomios:
En la siguiente unidad veremos por qué el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de todos los números reales.
Esto se debe a que el dominio de cada una de las funciones elementales tiene el mismo dominio: .
Para el caso (b), primero vamos a dar la definición de la operación composición de funciones.
Composición de funciones
Sean y
dos funciones. La composición de
en
, denotado por
se obtiene sustituyendo la expresión que le corresponde a
en
.
Ejemplo 3
Considera las funciones:
Calcula .
Para calcular basta sustituir
en
y simplificar la expresión, si es posible:
Con esta definición de composición de funciones, podemos enunciar una propiedad de las funciones inversas:
Propiedad de simetría de las funciones inversas
Sean y
funciones inversas. Entonces,
Ejemplo 4
Si entonces, su función inversa es la función
. Verifica que cumplen con la propiedad antes mencionada.
Vamos a verificarlo sustituyendo de acuerdo a como se menciona en la propiedad:
Entonces, estas funciones si satisfacen esa condición.
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