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Funciones especiales

Aprenderás cuáles son algunas funciones especiales elementales en matemáticas.

En esta sección estudiaremos algunas funciones que son muy importantes en el estudio del análisis matemático.

Empezamos con algunos casos particulares de las funciones polinomiales.

Función constante

El caso especial: f(x) = a_0, con a_0\in\mathbb{R} es una función polinomial de grado cero, conocida como función constante. En este caso, f en realidad no es una máquina que transforma números. Simplemente los ignora.

Por ejemplo, si nosotros asignamos x=2, la máquina siempre nos devolverá el valor a_0. Y ese mismo valor devolverá idependientemente del valor que asignemos a x. Por eso no los transforma.

Puedes imaginar a la función constante como una máquina que no quiere batallar: simplemente te devuelve siempre el mismo valor. Geométricamente obtenemos una recta horizontal, pues el valor de y = f(x) no cambia:

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Observa que la función no involucra a la literal x, pues los valores que nos devolverá f no dependen de ninguna manera de los valores x que nosotros le vayamos dando.

También es una buena idea notar que la gráfica de esta función corta al eje vertical (y) en y = a_0. Esto es obvio, puesto que f(x) siempre es igual a a_0, independientemente del valor del x que nosotros asignemos. En particular, cuando x=0, y = f(x) = a_0. Por eso la ordenada al origen de esta función es el punto (0,a_0).


Funciones escalonadas

Las funciones escalonadas tienen su nombre debido a que sus gráficas parecen escalones. En el ejemplo estudiado en la lección titulada Relaciones y funciones se explica un ejemplo que muestra una tabla con los importes del envío de paquetes de diferentes pesos.

Peso (gr) Importe ($) Peso (gr) Importe ($)
0 < p \leq 100 12.50 500 < p \leq 600 43.50
100 < p \leq 200 19.00 600 < p \leq 700 49.35
200 < p \leq 300 25.25 700 < p \leq 800 55.20
300 < p \leq 400 31.50 800 < p \leq 900 61.00
400 < p \leq 500 37.50 900 < p \leq 1000 66.50

Al graficar los datos de la tabla obtenemos la siguiente gráfica escalonada:

Rendered by QuickLaTeX.com

En el ejemplo mencionado se explica por qué esta relación sí es una función.

Además, se trata de una función escalonada.


Ejemplo 1

Grafica la función piso, que se denota por: y =\lfloor x\rfloor, y que se define como sigue:

    \begin{equation*}    \lfloor x\rfloor = \mbox{mayor entero }\leq x \end{equation*}

Por ejemplo, \lfloor \pi\rfloor = 3, porque 3 es el número entero más grande que es menor que \pi \approx 3.141592654\cdots.

\lfloor\sqrt{26}\rfloor = 5, porque 5 es el número entero más grande que es menor que \sqrt{26}.

Considerando que e = 2.718281828\cdots, entonces, \lfloor e\rfloor = 2.

\lfloor\sin 45^{\mathrm o}\rfloor = 0, porque \sin 45^{^{\mathrm o}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071067812\cdots.

\lfloor\cos 30^{\mathrm o}\rfloor = 0, porque \cos 30^{^{\mathrm o}} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660254\cdots.

Observa que la función piso solamente ignora los decimales del número y lo deja como un entero.

Otra forma de definir la función es: es la función que trunca todos los dígitos a la derecha del punto decimal del número.

La gráfica de esta función es la siguiente:

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¿Puedes justificar por qué está definida en el punto (k,k+0.5) (k\in\mathbb{Z}) a partir de la definición?


Otra función escalonada es la función cielo que se denota por f(x) = \lceil x \rceil, y que se define por:

    \begin{equation*}    \lceil x \rceil = \mbox{menor entero} \geq x \end{equation*}

Por ejemplo \lceil \pi \rceil = 4, porque 4 es el menor número entero que es mayor que \pi. Se te queda como ejercicio elaborar la gráfica de esta función.

Funciones compuestas

La composición de funciones se puede interpretar de dos maneras distintas.

  • (a) Suma de dos o más funciones diferentes para obtener una nueva función.
  • (b) Sustituir una función en otra función para obtener una nueva función.

Ejemplo 2

Considera la función:

    \begin{equation*}    y = 2\,x + \sqrt{x} \end{equation*}

como una función compuesta y muestra sus funciones componentes, es decir, sus distintas partes.

La función y = 2\,x + \sqrt{x} está compuesta como la suma de las funciones:

    \begin{eqnarray*}    f_1(x) &=& 2\,x\\    f_2(x) &=& \sqrt{x} \end{eqnarray*}

El dominio de la función f_1 es el conjunto de todos los números reales. El dominio de la función f_2 es el conjunto de los números reales no negativos. Entonces, el dominio de la función compuesta:

    \begin{equation*}    y = f_1(x) + f_2(x) = 2\,x + \sqrt{x} \end{equation*}

es x\geq0, con x\in\mathbb{R}. Observa que tomamos la intersección de los dominios de las funciones f_1 y f_2, porque, por ejemplo, si x = -5, la función f_1 sí puede transformar este valor, es decir, x = -5 sí está en el dominio de f_1, pero no está en el dominio de f_2 porque \sqrt{-5}\notin\mathbb{R}.


En este sentido, una función polinomial

    \begin{equation*}    y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n \end{equation*}

es una función compuesta cuyas funciones componentes son los monomios:

    \begin{equation*}    a_0,\qquad a_1x,\qquad a_2x^2,\qquad a_3x^3,\qquad\cdots, \qquad a_nx^n \end{equation*}

En la siguiente unidad veremos por qué el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de todos los números reales.
Esto se debe a que el dominio de cada una de las funciones elementales tiene el mismo dominio: \mathbb{R}.

Para el caso (b), primero vamos a dar la definición de la operación composición de funciones.


Composición de funciones

Sean y = f(x) y y = g(x) dos funciones. La composición de f en g, denotado por f\circ g = f(g(x)) se obtiene sustituyendo la expresión que le corresponde a g en f.



Ejemplo 3

Considera las funciones:

    \begin{equation*} f(x) = \displaystyle\frac{7\,x + 1}{x^2 + 1}\qquad y \qquad g(x) = x + 1 \end{equation*}

Calcula f\circ g.

Para calcular f\circ g basta sustituir g en f y simplificar la expresión, si es posible:

    \begin{equation*}    f\circ g = f(g(x)) = \displaystyle\frac{7\,(g(x)) + 1}{(g(x))^2 + 1} 	    = \displaystyle\frac{7\,(x + 1) + 1}{(x + 1)^2 + 1} 	    = \displaystyle\frac{7\,x + 8}{x^2 + 2\,x + 2} \end{equation*}


Con esta definición de composición de funciones, podemos enunciar una propiedad de las funciones inversas:

Propiedad de simetría de las funciones inversas

Sean f y g funciones inversas. Entonces,

    \begin{equation*}    f\circ g = f(g(x)) = x\qquad\qquad y \qquad\qquad g\circ f = g(f(x)) = x \end{equation*}


Ejemplo 4

Si f(x) = x^3 entonces, su función inversa es la función g(x) = \sqrt[3]{x}. Verifica que cumplen con la propiedad antes mencionada.

Vamos a verificarlo sustituyendo de acuerdo a como se menciona en la propiedad:

    \begin{eqnarray*}    f\circ g &=& f(g(x)) = \left(g(x)\right)^3 = \left(\sqrt[3]{x}\right)^3 = \left(x^{1/3}\right)^3 = x\\    g\circ f &=& g(f(x)) = \sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{x^3} = \left(x^3\right)^{1/3} = x \end{eqnarray*}

Entonces, estas funciones si satisfacen esa condición.


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