Funciones especiales

En esta sección estudiaremos algunas funciones que son muy importantes en el estudio del análisis matemático.

Empezamos con algunos casos particulares de las funciones polinomiales.

Contenido

1 Función constante
2 Funciones escalonadas
3 Ejemplo 1
4 Funciones compuestas
5 Ejemplo 2
6 Composición de funciones
7 Ejemplo 3
8 Propiedad de simetría de las funciones inversas
9 Ejemplo 4

Función constante

El caso especial: $f(x) = a_0$ , con $a_0\in\mathbb{R}$ es una función polinomial de grado cero, conocida como función constante. En este caso, $f$ en realidad no es una máquina que transforma números. Simplemente los ignora.

Por ejemplo, si nosotros asignamos $x=2$ , la máquina siempre nos devolverá el valor $a_0$ . Y ese mismo valor devolverá idependientemente del valor que asignemos a $x$ . Por eso no los transforma.

Puedes imaginar a la función constante como una máquina que no quiere batallar: simplemente te devuelve siempre el mismo valor. Geométricamente obtenemos una recta horizontal, pues el valor de $y = f(x)$ no cambia:

Observa que la función no involucra a la literal $x$ , pues los valores que nos devolverá $f$ no dependen de ninguna manera de los valores $x$ que nosotros le vayamos dando.

También es una buena idea notar que la gráfica de esta función corta al eje vertical ( $y$ ) en $y = a_0$ . Esto es obvio, puesto que $f(x)$ siempre es igual a $a_0$ , independientemente del valor del $x$ que nosotros asignemos. En particular, cuando $x=0$ , $y = f(x) = a_0$ . Por eso la ordenada al origen de esta función es el punto $(0,a_0)$ .

Funciones escalonadas

Las funciones escalonadas tienen su nombre debido a que sus gráficas parecen escalones. En el ejemplo estudiado en la lección titulada Relaciones y funciones se explica un ejemplo que muestra una tabla con los importes del envío de paquetes de diferentes pesos.

Peso (gr)	Importe ($)	Peso (gr)	Importe ($)
$0 < p \leq 100$	12.50	$500 < p \leq 600$	43.50
$100 < p \leq 200$	19.00	$600 < p \leq 700$	49.35
$200 < p \leq 300$	25.25	$700 < p \leq 800$	55.20
$300 < p \leq 400$	31.50	$800 < p \leq 900$	61.00
$400 < p \leq 500$	37.50	$900 < p \leq 1000$	66.50

Al graficar los datos de la tabla obtenemos la siguiente gráfica escalonada:

En el ejemplo mencionado se explica por qué esta relación sí es una función.

Además, se trata de una función escalonada.

Ejemplo 1

Grafica la función piso, que se denota por: $y =\lfloor x\rfloor$ , y que se define como sigue:

$\begin{equation*} \lfloor x\rfloor = \mbox{mayor entero }\leq x \end{equation*}$

Por ejemplo, $\lfloor \pi\rfloor = 3$ , porque 3 es el número entero más grande que es menor que $\pi \approx 3.141592654\cdots$ .

$\lfloor\sqrt{26}\rfloor = 5$ , porque 5 es el número entero más grande que es menor que $\sqrt{26}$ .

Considerando que $e = 2.718281828\cdots$ , entonces, $\lfloor e\rfloor = 2$ .

$\lfloor\sin 45^{\mathrm o}\rfloor = 0$ , porque $\sin 45^{^{\mathrm o}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071067812\cdots$ .

$\lfloor\cos 30^{\mathrm o}\rfloor = 0$ , porque $\cos 30^{^{\mathrm o}} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660254\cdots$ .

Observa que la función piso solamente ignora los decimales del número y lo deja como un entero.

Otra forma de definir la función es: es la función que trunca todos los dígitos a la derecha del punto decimal del número.

La gráfica de esta función es la siguiente:

¿Puedes justificar por qué está definida en el punto $(k,k+0.5)$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ) a partir de la definición?

Otra función escalonada es la función cielo que se denota por $f(x) = \lceil x \rceil$ , y que se define por:

$\begin{equation*} \lceil x \rceil = \mbox{menor entero} \geq x \end{equation*}$

Por ejemplo $\lceil \pi \rceil = 4$ , porque 4 es el menor número entero que es mayor que $\pi$ . Se te queda como ejercicio elaborar la gráfica de esta función.

Funciones compuestas

La composición de funciones se puede interpretar de dos maneras distintas.

(a) Suma de dos o más funciones diferentes para obtener una nueva función.
(b) Sustituir una función en otra función para obtener una nueva función.

Ejemplo 2

Considera la función:

$\begin{equation*} y = 2\,x + \sqrt{x} \end{equation*}$

como una función compuesta y muestra sus funciones componentes, es decir, sus distintas partes.

La función $y = 2\,x + \sqrt{x}$ está compuesta como la suma de las funciones:

$\begin{eqnarray*} f_1(x) &=& 2\,x\\ f_2(x) &=& \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

El dominio de la función $f_1$ es el conjunto de todos los números reales. El dominio de la función $f_2$ es el conjunto de los números reales no negativos. Entonces, el dominio de la función compuesta:

$\begin{equation*} y = f_1(x) + f_2(x) = 2\,x + \sqrt{x} \end{equation*}$

es $x\geq0$ , con $x\in\mathbb{R}$ . Observa que tomamos la intersección de los dominios de las funciones $f_1$ y $f_2$ , porque, por ejemplo, si $x = -5$ , la función $f_1$ sí puede transformar este valor, es decir, $x = -5$ sí está en el dominio de $f_1$ , pero no está en el dominio de $f_2$ porque $\sqrt{-5}\notin\mathbb{R}$ .

En este sentido, una función polinomial

$\begin{equation*} y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n \end{equation*}$

es una función compuesta cuyas funciones componentes son los monomios:

$\begin{equation*} a_0,\qquad a_1x,\qquad a_2x^2,\qquad a_3x^3,\qquad\cdots, \qquad a_nx^n \end{equation*}$

En la siguiente unidad veremos por qué el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de todos los números reales.
Esto se debe a que el dominio de cada una de las funciones elementales tiene el mismo dominio: $\mathbb{R}$ .

Para el caso (b), primero vamos a dar la definición de la operación composición de funciones.

Composición de funciones

Sean $y = f(x)$ y $y = g(x)$ dos funciones. La composición de $f$ en $g$ , denotado por $f\circ g = f(g(x))$ se obtiene sustituyendo la expresión que le corresponde a $g$ en $f$ .

Ejemplo 3

Considera las funciones:

$\begin{equation*} f(x) = \displaystyle\frac{7\,x + 1}{x^2 + 1}\qquad y \qquad g(x) = x + 1 \end{equation*}$

Calcula $f\circ g$ .

Para calcular $f\circ g$ basta sustituir $g$ en $f$ y simplificar la expresión, si es posible:

$\begin{equation*} f\circ g = f(g(x)) = \displaystyle\frac{7\,(g(x)) + 1}{(g(x))^2 + 1} = \displaystyle\frac{7\,(x + 1) + 1}{(x + 1)^2 + 1} = \displaystyle\frac{7\,x + 8}{x^2 + 2\,x + 2} \end{equation*}$

Con esta definición de composición de funciones, podemos enunciar una propiedad de las funciones inversas:

Propiedad de simetría de las funciones inversas

Sean $f$ y $g$ funciones inversas. Entonces,

$\begin{equation*} f\circ g = f(g(x)) = x\qquad\qquad y \qquad\qquad g\circ f = g(f(x)) = x \end{equation*}$

Ejemplo 4

Si $f(x) = x^3$ entonces, su función inversa es la función $g(x) = \sqrt[3]{x}$ . Verifica que cumplen con la propiedad antes mencionada.

Vamos a verificarlo sustituyendo de acuerdo a como se menciona en la propiedad:

$\begin{eqnarray*} f\circ g &=& f(g(x)) = \left(g(x)\right)^3 = \left(\sqrt[3]{x}\right)^3 = \left(x^{1/3}\right)^3 = x\\ g\circ f &=& g(f(x)) = \sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{x^3} = \left(x^3\right)^{1/3} = x \end{eqnarray*}$