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Funciones crecientes y decrecientes

Aprenderás a identificar cuándo una función es creciente o decreciente con base en el valor de su segunda derivada.

Prestamos fáciles y rápidos

Ahora estudiaremos el comportamiento de la función a partir de la derivada. Hasta ahora hemos calculado máximos y mínimos de funciones. También sabemos que cuando f'(x) > 0 la función es creciente en ese intervalo. Con esta información podemos hacer bosquejos de funciones usando su derivada.


Ejemplo

Determina los intervalos en los cuales la función:

    \begin{equation*}    y = x^3 + x^2 - 6\,x \end{equation*}

es creciente y en los cuales es decreciente.

La derivada de la función es:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 3\,x^2 + 2\,x - 6 \end{equation*}

Ya calculamos los máximos y mínimos de esta función y la graficamos (en otra lección previa). Ahora vamos a graficar la derivada para determinar los intervalos donde es positiva y donde es negativa.

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Los puntos críticos de la función son:

    \begin{equation*}    x_1 = \frac{-1 - \sqrt{19}}{3}\qquad\mbox{ y }\qquad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{19}}{3} \end{equation*}

Antes de x_1 la derivada es positiva y un poco después es negativa. Por eso concluimos que la función tiene un máximo en x_1. Entonces, en el intervalo (-\infty,x_1) la función es creciente. En el intervalo (x_1,x_2) la derivada de la función es negativa. Esto nos dice que la función es decreciente en ese intervalo. Para el último intervalo: (x_2,\infty), la derivada es positiva, lo cual nos indica que la función es creciente ahí.



Ejemplo

Calcula los intervalos donde la función:

    \begin{equation*}    y = e^{-x^2} \end{equation*}

es creciente y donde es decreciente.

Ya estudiamos esta función en el último ejemplo de la lección Máximos y mínimos.

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Su derivada es:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = -2\,xe^{-x^2} \end{equation*}

Dado que la función exponencial es positiva para cualquier valor de su argumento, el signo de la derivada depende exclusivamente del factor -2\,x. Cuando x es negativa, la derivada es positiva. Es decir, para x < 0, la función es creciente. Cuando x es positiva la derivada es negativa. En otras palabras, para x > 0, la función es decreciente.


Los intervalos donde la función es creciente nos dirán información acerca del fenómeno que modela la función. En cada caso particular, la interpretación de la gráfica de la función está relacionada con el contexto en el cual se le aplica.


Ejemplo

Una partícula móvil tiene posición x(t) para cada valor de t de acuerdo a:

    \begin{equation*}    x(t) = t^3 - 6\,t^2 + 9\,t \end{equation*}

Calcula los intervalos donde su velocidad es positiva y donde es negativa.

La velocidad de la partícula se calcula como la derivada de la posición:

    \begin{equation*}    \frac{dx}{dt} = 3\,t^2 - 12\,t + 9 \end{equation*}

Ahora necesitamos calcular los puntos donde la velocidad se hace cero. Eso nos ayudará a conocer dónde la posición tiene un máximo o un mínimo. Esto lo entenderemos como los puntos en los que la partícula se encuentra más alejada (máximo) o cercana (mínimo) al origen.

    \begin{equation*}    \frac{dx}{dt} = 3\,t^2 - 12\,t + 9 = 3\cdot(t^2 - 4\,t + 3) = 3\cdot(t - 1)\cdot(t - 3) \end{equation*}

Entonces, los puntos críticos de la función están en t = 1, y en t = 3. Poco antes de t = 1, la derivada es positiva:

    \begin{equation*}    \left.\frac{dx}{dt}\right\vert_{t=0.5} = 3\,(0.5)^2 - 12\,(0.5) + 9 = 3.75 > 0 \end{equation*}

Esto nos indica que la velocidad es positiva en el intervalo (0,1). Poco después de t = 1, la derivada es negativa:

    \begin{equation*}    \left.\frac{dx}{dt}\right\vert_{t=2} = 3\,(2)^2 - 12\,(2) + 9 = -3 < 0 \end{equation*}

Entonces, en el intervalo (1,3) la velocidad es negativa. Poco antes de t = 3 la derivada es negativa, pues corresponde al intervalo que acabamos de calcular. Poco después es positiva:

    \begin{equation*}    \left.\frac{dx}{dt}\right\vert_{t=4} = 3\,(4)^2 - 12\,(4) + 9 = 9 > 0 \end{equation*}

Ahora podemos hacer una tabla donde incluyamos información acerca de t, x(t) y x'(t):

    \[\begin{array}{r@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}l}\hline \multicolumn{2}{c}{t}	&	\multicolumn{3}{c}{x(t)}	& \multicolumn{3}{c}{x'(t)} && \multicolumn{2}{c}{t}	&	\multicolumn{3}{c}{x(t)}	& \multicolumn{3}{c}{x'(t)}\\\hline 0&0     &&      0&0     &&      9&0			&   & 0&25    &&      1&8906  &&      6&1875\\ % 0&5     &&      3&125   &&      3&75			&   & 0&75    &&      3&7969  &&      1&6875\\ % 1&0     &&      4&0     &&      0&0			&   & 1&25    &&      3&8281  &&      -1&3125\\ % 1&5     &&      3&375   &&      -2&25			&   & 1&75    &&      2&7344  &&      -2&8125\\ % 2&0     &&      2&0     &&      -3&0			&   & 2&25    &&      1&2656  &&      -2&8125\\ % 2&5     &&      0&625   &&      -2&25			&   & 2&75    &&      0&1719  &&      -1&3125\\ % 3&0     &&      0&0     &&      0&0			&   & 3&25    &&      0&2031  &&      1&6875\\ % 3&5     &&      0&875   &&      3&75			&   & 3&75    &&      2&1094  &&      6&1875\\ % 4&0     &&      4&0     &&      9&0			&   & 4&25    &&      6&6406  &&      12&1875\\ 	\hline \end{array}\]

Aprende Producción de Audio

La gráfica de la función es la siguiente:

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Ejemplo

La población P(t) (en millones de habitantes) de una ciudad crece de acuerdo a:

    \begin{equation*}    P(t) = \frac{55}{5.5 + 4.5\cdot e^{-0.0344t}} \end{equation*}

donde t está medido en años. Encuentra los intervalos donde el tamaño de esa población decrece con el tiempo.

Primero calculamos la derivada de la función que modela el crecimiento de la población:

    \begin{equation*}    \frac{dP}{dt} = \frac{8.514\,e^{-0.0344t}}{\left(5.5 + 4.5\,e^{-0.0344t}\right)^2} \end{equation*}

Ahora vemos que la derivada siempre es positiva. Esto nos indica que la población siempre es creciente. Una buena pregunta consiste en el límite de la población cuando t tiende a infinito. Este valor representa al tamaño de la población límite para esa ciudad.

    \[\begin{array}{r@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}l}\hline \multicolumn{2}{c}{t}	&	\multicolumn{3}{c}{x(t)}	& \multicolumn{3}{c}{x'(t)} && \multicolumn{2}{c}{t}	&	\multicolumn{3}{c}{x(t)}	& \multicolumn{3}{c}{x'(t)}\\\hline 0&0     &&      5&5     &&      0&0851  &   & 10&0    &&      6&329   &&      0&0799\\ % 20&0    &&      7&0862  &&      0&071   &   & 30&0    &&      7&7429  &&      0&0601\\ % 40&0    &&      8&2873  &&      0&0488  &   & 50&0    &&      8&7221  &&      0&0383\\ % 60&0    &&      9&0591  &&      0&0293  &   & 70&0    &&      9&3142  &&      0&022\\ % 80&0    &&      9&5039  &&      0&0162  &   & 90&0    &&      9&6431  &&      0&0118\\ % 100&0   &&      9&7444  &&      0&0086  &   & 110&0   &&      9&8174  &&      0&0062\\ % 120&0   &&      9&8699  &&      0&0044  &   & 130&0   &&      9&9074  &&      0&0032\\ % 140&0   &&      9&9342  &&      0&0022  &   & 150&0   &&      9&9532  &&      0&0016\\ % 160&0   &&      9&9668  &&      0&0011  &   & 170&0   &&      9&9764  &&      0&0008\\ % 180&0   &&      9&9833  &&      0&0006  &   & 190&0   &&      9&9881  &&      0&0004\\ % 200&0   &&      9&9916  &&      0&0003  &   & 210&0   &&      9&994   &&      0&0002\\ % 220&0   &&      9&9958  &&      0&0001  &   & 230&0   &&      9&997   &&      0&0001\\ % 240&0   &&      9&9979  &&      0&0001  &   & 250&0   &&      9&9985  &&      0&0001\\ % 	\hline \end{array}\]

Observa que conforme t crece, los valores de la población tienden a 10, mientras que la derivada de la función que modela la población tiende a cero. Esto nos sugiere que la gráfica de la función tiene por asíntota la recta horizontal y = 10. Para verificarlo, tendremos que graficar la función. Lo cual se te queda como ejercicio.



Ejemplo

El número de palabras n que puede memorizar un niño en Ruso y su significado en Español en t minutos está dado por:

    \begin{equation*}    n(t) = 25\cdot(1 - e^{-0.35t}) \end{equation*}

¿Cuál es el número máximo de palabras que puede aprender por minuto?

Tenemos que calcular la velocidad a la que puede memorizar el niño. Esa velocidad es la derivada de n(t). Después tenemos que calcular los máximos y mínimos de esa velocidad. Empezamos calculando la primera derivada de n(t):

    \begin{equation*}    \frac{dn}{dt} = 8.75\,e^{-0.35t} \end{equation*}

Dado que la primera derivada siempre es positiva, conforme avanza más tiempo el niño puede memorizar más palabras. Pero, ¿qué pasa con el número de palabras por minuto que memoriza? Esa información nos la da la segunda derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^2n}{dt^2} = -3.0625\,e^{-0.35t} \end{equation*}

La segunda derivada es negativa. Esto nos dice que conforme avanza el tiempo, el niño puede memorizar menos palabras por minuto. En otras palabras, al principio, el niño puede memorizar más rápido que en cualquier otro momento.

    \[\begin{array}{r@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}l}\hline \multicolumn{2}{c}{t}	&	\multicolumn{3}{c}{x(t)}	& \multicolumn{3}{c}{x'(t)} && \multicolumn{2}{c}{t}	&	\multicolumn{3}{c}{x(t)}	& \multicolumn{3}{c}{x'(t)}\\\hline 0&0     &&      0&0     &&      0&875   &   & 1&0     &&      5&53    &&      0&6166\\ % 2&0     &&      9&8367  &&      0&4345  &   & 3&0     &&      13&1908 &&      0&3062\\ % 4&0     &&      15&803  &&      0&2158  &   & 5&0     &&      17&8374 &&      0&1521\\ % 6&0     &&      19&4217 &&      0&1071  &   & 7&0     &&      20&6557 &&      0&0755\\ % 8&0     &&      21&6166 &&      0&0532  &   & 9&0     &&      22&365  &&      0&0375\\ % 10&0    &&      22&9479 &&      0&0264  &   & 11&0    &&      23&4018 &&      0&0186\\ % 12&0    &&      23&7553 &&      0&0131  &   & 13&0    &&      24&0306 &&      0&0092\\ % 14&0    &&      24&2451 &&      0&0065  &   & 15&0    &&      24&4121 &&      0&0046\\ 	\hline \end{array}\]

La primera derivada evaluada en cero nos dice que, en promedio el niño puede memorizar 0.875 = 7/8 palabras por minuto. En otras palabras, en 8 minutos puede memorizar 7 palabras, suponiendo que memorizara a la velocidad máxima durante esos 8 minutos.


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