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La función polinomial

Aprenderás la definición de función polinomial.

En esta unidad empezamos a estudiar las funciones polinomiales. Estas funciones son muy importantes en matemáticas porque cualquier función se puede aproximar como una función polinomial de ciertos grados. Por ejemplo, la función exponencial puede escribirse como:

    \begin{equation*}    y = e^x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{equation*}

donde k! indica el factorial del número k, que es igual al producto de todos los números naturales desde 1 hasta k. Mientras más términos incluyamos, mejor aproximación tendremos al valor verdadero de e^x. De hecho, las calculadoras utilizan esta definición para calcular valores de e^x.


Función polinomial

Una función es polinomial si se puede escribir de la forma:

    \begin{equation*}    y = a_n\,x^n + a_{n-1}\,x^{n - 1} + \cdots + a_2\,x^2 + a_1\,x + a_0 \end{equation*}

donde los coeficientes a_n, a_{n-1}, etc., son números reales y los exponentes n, n - 1, \cdots, 1, son números enteros no negativos.
Si a_n \neq 0, entonces a_0 es el coeficiente principal y n es el grado de la función polinomial.





Ejemplo 1

Las siguientes son funciones polinomiales:

En la siguiente tabla se muestran algunas funciones indicando el coeficiente principal y su grado.

Función polinomialGradoCoef. Principal
y = m\,x + b1m
y = \displaystyle\frac{x^2}{2} + \sqrt{2}\,x + \pi2\displaystyle\frac{1}{2}
y = x^3 + x^2 - x + 531
y = (5\,x + 3)^{11}115^{11} (requiere desarrollo)


Un concepto importante que nos va a ayudar a describir más fácilmente los elementos de una función es el siguiente:


Cerradura

Sea \mathbb{A} un conjunto. Decimos que los elementos del conjunto \mathbb{A} son cerrados bajo la operación \divideontimes si para cualesquiera a_1, a_2\in\mathbb{A} se cumple: a_1\divideontimes a_2\in\mathbb{A}.


Aquí, \divideontimes representa el símbolo de una operación, bien puede ser +, -, \times ó \div. La cerradura nos indica si el resultado de una operación con dos elementos del mismo conjunto está en ese conjunto.


Ejemplo 2

¿Es el conjunto de los números naturales cerrado bajo la suma?

Para contestar a esta pregunta debemos verificar si al elegir dos números naturales el resultado siempre está en el conjunto de los números naturales. La respuesta a esta pregunta es obvia.

Siempre que sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural. Entonces, el conjunto de los números naturales es cerrado bajo la suma.



Ejemplo 3

¿Es el conjunto de los números reales cerrado bajo la suma? ¿Bajo la multiplicación? ¿Bajo la división?
Siempre que sumamos dos números reales obtenemos otro número real, no importa qué números sumamos. Esto nos indica que el conjunto \mathbb{R} es cerrado bajo la suma. Cuando multiplicamos dos números reales siempre obtenemos otro número real. Por eso decimos que el conjunto de los números reales es cerrado bajo la multiplicación.

Para cualesquiera a,b con b \neq 0, el resultado de a\div b es un número real. Entonces, \mathbb{R} es cerrado bajo la división, siempre que el divisor sea distinto de cero.


Esta definición implica, entonces, que para cualquier función polinomial, el dominio siempre será el conjunto de los números reales. Nota que las funciones polinomiales solamente involucran las 4 operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Independientemente de los valores de los coeficientes y de la variable x, siempre es posible realizar las operaciones que indica la función polinomial.

Independientemente del valor de x, siempre podemos encontrar potencias de ese número, que no son sino multiplicaciones repetidas de x. Esto gracias a la cerradura del conjunto de los números reales bajo la multiplicación. Por esa misma razón podemos multiplicar la potencia obtenida por el coeficiente que le corresponde.

Igualmente podemos sumar diferntes porencias de x y obtenemos otro número real. Gracias a la cerradura de los reales bajo la suma sabemos que el resultado es otro número real.

El valor que la función asigna a y siempre se puede calcular. De aquí que el dominio de cualquier función polinomial sea el conjunto de los números reales: \mathbb{R}.

El dominio de cualquier función polinomial es \mathbb{R}.

No podemos decir lo mismo del contradominio de las funciones polinomiales. Para que te dés cuenta considera los contradominios de las funciones y = x, y y = x^2. El problema yace en que las potencias pares arrojan resultados positivos o cero, es decir, no negativos, mientras que las impares tanto positivos como negativos. Gracias a la cerradura de los números reales en la suma y la multiplicación, pudimos concuir que el dominio de cualquier función polinomial es \mathbb{R}. Por esto mismo, podemos deducir que todas las funciones polinomiales son contínuas en su dominio.

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