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Función logarítmica

Aprenderás la definición de logaritmo y de función logarítmica.

Ya hemos definido la función exponencial. Supongamos que sabemos que 2^x = 512, y deseamos conocer qué valor debe tener x para que la igualdad sea verdadera. En otras palabras, deseamos conocer a qué potencia debemos elevar la base 2 para obtener 512. Precisamente así es como se motivó el concepto de logaritmo. Sin necesidad de calculadora, si multiplicamos al número 2 por sí mismo 9 veces obtendremos 512. Es decir, si 2^x = 512, entonces x = 9. Esta es precisamente la definición de logaritmo.


Logaritmo

Si y = a^x, entonces, se define:

    \begin{equation*}    \log_a y = x \end{equation*}

y se lee: el logaritmo del número y en la base a es igual a x.


Podemos convertir de una forma exponencial a la forma logarítmica usando la definición anterior. Observa que, de acuerdo a la definición de función inversa, la función exponencial es la función inversa de la función logarimica y viceversa. Si intercambiamos las literales, obtendremos la notación de función que hemos estado usando.


Función logarítmica

Una función es logarítmica si es del tipo:

    \begin{equation*}    y = \log_a x \end{equation*}

donde a > 0 es distinto de 1.


Observa que y = \log_a x implica que a^y = x. Esto nos indica que la función exponencial es la inversa de la función logarítmica. Es decir, si conocemos los puntos por donde pasa la función exponencial, intercambiando la coordenada de x por la de y y viceversa para cada punto, podremos fácilmente graficar una función exponencial. En otras palabras, la función y=x sirve como un eje de simetría para las gráficas de ambas funciones.




Ejemplo 1

Grafica la función logarítmica:

    \begin{equation*}    y = \log_2 x \end{equation*}

Calcula su dominio y su contradominio.

Nosotros ya habíamos graficado la función exponencial y = 2^x previamente. Ahora podemos cambiar los valores de las coordenadas de x por y y de y por x, y obtenemos la siguiente tabla:

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Como las funciones y = 2^x y y = \log_2 x son inversas una de la otra, el dominio de la primera es el contradominio de la primera y viceversa. Entonces, el dominio de la función y = \log_2 x es el conjunto de todos los números reales positivos. Y el contradominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.


Observa que dado que y = \log_a x es la función inversa de y = a^x se cumple:

    \begin{equation*}    \log_a y = \log_a \left(a^x\right) = x \end{equation*}

Esto es muy fácil de justificar, porque el resultado de \log_a \left(a^x\right) es el exponente al cual debemos elevar el número a para obtener a^x. Pero la pregunta tiene la respuesta: para obtener a^x debemos multiplicar el número a en total x veces. Puedes memorizar fácilmente este resultado pensando que, como la función logarimica es inversa de la función exponencial, se cancelan mutuamente:

    \begin{equation*}    \log_{a} y = \log_{\cancel{a}} \left((\cancel{a})^x\right) = x \end{equation*}

También recuerda que para todo a \neq 0 se cumple: a^0 = 1. De aquí que:

    \begin{equation*}    \log_{a} 1 = 0 \end{equation*}

Es decir, si elevamos el número a a la potencia 0, obtenemos como resultado 1. Esto puedes verlo de la gráfica del ejemplo anterior, anque se va a cumplir para cualquier base a válida que demos a la función logaritmo.


Ejemplo 2

Grafica la función logarítmica:

    \begin{equation*}    y = \log_3 x \end{equation*}

Calcula su dominio y su contradominio.

De nuevo nos basaremos en la gráfica de la función exponencial con base 3.

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Observa que el argumento de la función logaritmo necesariamente debe ser positivo. Entonces, si deseamos graficar la función y = \log (-x), el dominio de esta función será tal que los valores del argumento de la función sean positivos. Es decir, para los valores en los cuales -x es positivo. Esto ocurre cuando x < 0.


Ejemplo 3

Grafica la función logarítmica:

    \begin{equation*}    y = \log_3 x \end{equation*}

Calcula su dominio y su contradominio.

Observa que se requiere que x sea negativo, para que el valor de -x sea positivo y así, la función logaritmo pueda devolver un valor.

    \[\begin{array}{cc} \hline x & y = \log_3 x\\ \hline % (0.012,-4)(0.037,-3)(0.11,-2)(0.33,-1)(1,0)(3,1)(9,2) -0.012 & -4 \\ -0.037 & -3 \\ -0.110 & -2 \\ -0.333 & -1 \\ -1.000 & ~0 \\ -3.000 & ~1 \\ -9.000 & ~2 \\ \hline \end{array}\]

En este caso el eje de simetría de la figura estará dada por la función y = -x.

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Con los ejemplos anteriores debe ser sencillo graficar la función y = \log_2 |x|. Así que se te queda de ejercicio. Si recuerdas, las propiedades de los logaritmos pueden ayudarnos a graficar de una manera más sencilla otras funciones logarítmicas.


Ejemplo 4

Grafica la siguiente función logarimica:

    \begin{equation*}    y = \log_{2} \left(x^2\right) \end{equation*}

Usando la propiedad de los logaritmos que dice:

    \begin{equation*}    \log_{a} x^n = n\,\log_{a} x \end{equation*}

podemos transformar la función a la siguiente forma:

    \begin{equation*}    y = 2\,\log_{2} x \end{equation*}

Así, la gráfica de esta función se obtiene dilatando por 2 la gráfica de la función y = \log_2 x.

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Observa que ambas gráficas cortan al eje x en el mismo punto, como era de esperarse.


Entonces, para graficar una función logarimica complicada, algunas veces servirá transformarla para bosquejar su gráfica a partir de una función logarítmica que ya conozcamos.

En el siguiente ejemplo graficamos la función y = \log_2\left(x^2\right) a través de la dilatación de la gráfica de la función y = \log_2 x utilizando una propiedad de los logaritmos. La propiedad que hemos utilizado para graficar esta función logarítmica también funciona con exponentes racionales.


Ejemplo 5

Grafica la siguiente función logarimica:

    \begin{equation*}    y = \log_{2} \sqrt{x} \end{equation*}

Podemos transformar esta función a la siguiente forma:

    \begin{equation*}    y = \log_{2} \sqrt{x}  = \log_{2} \left[\left(x\right)^{1/2}\right] = \frac{1}{2}\,\log_{2} x \end{equation*}

Así que ahora dilataremos por 1/2 la gráfica de la función y = \log_{2} x para obtener la gráfica de la función: y = \log_{2} \sqrt{x}.

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Observa que ambas gráficas cortan al eje x en el mismo punto, como era de esperarse.


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