Función logarítmica

Ya hemos definido la función exponencial. Supongamos que sabemos que $2^x = 512$ , y deseamos conocer qué valor debe tener $x$ para que la igualdad sea verdadera. En otras palabras, deseamos conocer a qué potencia debemos elevar la base 2 para obtener 512. Precisamente así es como se motivó el concepto de logaritmo. Sin necesidad de calculadora, si multiplicamos al número 2 por sí mismo 9 veces obtendremos 512. Es decir, si $2^x = 512$ , entonces $x = 9$ . Esta es precisamente la definición de logaritmo.

Contenido

1 Logaritmo
2 Función logarítmica
3 Ejemplo 1
4 Ejemplo 2
5 Ejemplo 3
6 Ejemplo 4
7 Ejemplo 5

Logaritmo

Si $y = a^x$ , entonces, se define:

$\begin{equation*} \log_a y = x \end{equation*}$

y se lee: el logaritmo del número $y$ en la base $a$ es igual a $x$ .

Podemos convertir de una forma exponencial a la forma logarítmica usando la definición anterior. Observa que, de acuerdo a la definición de función inversa, la función exponencial es la función inversa de la función logarimica y viceversa. Si intercambiamos las literales, obtendremos la notación de función que hemos estado usando.

Una función es logarítmica si es del tipo:

$\begin{equation*} y = \log_a x \end{equation*}$

donde $a > 0$ es distinto de 1.

Observa que $y = \log_a x$ implica que $a^y = x$ . Esto nos indica que la función exponencial es la inversa de la función logarítmica. Es decir, si conocemos los puntos por donde pasa la función exponencial, intercambiando la coordenada de $x$ por la de $y$ y viceversa para cada punto, podremos fácilmente graficar una función exponencial. En otras palabras, la función $y=x$ sirve como un eje de simetría para las gráficas de ambas funciones.

Ejemplo 1

Grafica la función logarítmica:

$\begin{equation*} y = \log_2 x \end{equation*}$

Calcula su dominio y su contradominio.

Nosotros ya habíamos graficado la función exponencial $y = 2^x$ previamente. Ahora podemos cambiar los valores de las coordenadas de $x$ por $y$ y de $y$ por $x$ , y obtenemos la siguiente tabla:

Como las funciones $y = 2^x$ y $y = \log_2 x$ son inversas una de la otra, el dominio de la primera es el contradominio de la primera y viceversa. Entonces, el dominio de la función $y = \log_2 x$ es el conjunto de todos los números reales positivos. Y el contradominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.

Observa que dado que $y = \log_a x$ es la función inversa de $y = a^x$ se cumple:

$\begin{equation*} \log_a y = \log_a \left(a^x\right) = x \end{equation*}$

Esto es muy fácil de justificar, porque el resultado de $\log_a \left(a^x\right)$ es el exponente al cual debemos elevar el número $a$ para obtener $a^x$ . Pero la pregunta tiene la respuesta: para obtener $a^x$ debemos multiplicar el número $a$ en total $x$ veces. Puedes memorizar fácilmente este resultado pensando que, como la función logarimica es inversa de la función exponencial, se cancelan mutuamente:

$\begin{equation*} \log_{a} y = \log_{\cancel{a}} \left((\cancel{a})^x\right) = x \end{equation*}$

También recuerda que para todo $a \neq 0$ se cumple: $a^0 = 1$ . De aquí que:

$\begin{equation*} \log_{a} 1 = 0 \end{equation*}$

Es decir, si elevamos el número $a$ a la potencia 0, obtenemos como resultado 1. Esto puedes verlo de la gráfica del ejemplo anterior, anque se va a cumplir para cualquier base $a$ válida que demos a la función logaritmo.

Ejemplo 2

Grafica la función logarítmica:

$\begin{equation*} y = \log_3 x \end{equation*}$

Calcula su dominio y su contradominio.

De nuevo nos basaremos en la gráfica de la función exponencial con base 3.

Observa que el argumento de la función logaritmo necesariamente debe ser positivo. Entonces, si deseamos graficar la función $y = \log (-x)$ , el dominio de esta función será tal que los valores del argumento de la función sean positivos. Es decir, para los valores en los cuales $-x$ es positivo. Esto ocurre cuando $x < 0$ .

Ejemplo 3

Grafica la función logarítmica:

$\begin{equation*} y = \log_3 x \end{equation*}$

Calcula su dominio y su contradominio.

Observa que se requiere que $x$ sea negativo, para que el valor de $-x$ sea positivo y así, la función logaritmo pueda devolver un valor.

$\begin{array}{cc} \hline x & y = \log_3 x\\ \hline % (0.012,-4)(0.037,-3)(0.11,-2)(0.33,-1)(1,0)(3,1)(9,2) -0.012 & -4 \\ -0.037 & -3 \\ -0.110 & -2 \\ -0.333 & -1 \\ -1.000 & ~0 \\ -3.000 & ~1 \\ -9.000 & ~2 \\ \hline \end{array}$

En este caso el eje de simetría de la figura estará dada por la función $y = -x$ .

Con los ejemplos anteriores debe ser sencillo graficar la función $y = \log_2 |x|$ . Así que se te queda de ejercicio. Si recuerdas, las propiedades de los logaritmos pueden ayudarnos a graficar de una manera más sencilla otras funciones logarítmicas.

Ejemplo 4

Grafica la siguiente función logarimica:

$\begin{equation*} y = \log_{2} \left(x^2\right) \end{equation*}$

Usando la propiedad de los logaritmos que dice:

$\begin{equation*} \log_{a} x^n = n\,\log_{a} x \end{equation*}$

podemos transformar la función a la siguiente forma:

$\begin{equation*} y = 2\,\log_{2} x \end{equation*}$

Así, la gráfica de esta función se obtiene dilatando por 2 la gráfica de la función $y = \log_2 x$ .

Observa que ambas gráficas cortan al eje $x$ en el mismo punto, como era de esperarse.

Entonces, para graficar una función logarimica complicada, algunas veces servirá transformarla para bosquejar su gráfica a partir de una función logarítmica que ya conozcamos.

En el siguiente ejemplo graficamos la función $y = \log_2\left(x^2\right)$ a través de la dilatación de la gráfica de la función $y = \log_2 x$ utilizando una propiedad de los logaritmos. La propiedad que hemos utilizado para graficar esta función logarítmica también funciona con exponentes racionales.