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La función lineal

Aprenderás el significado de los elementos de la función lineal.

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Una función polinomial de grado uno tiene la forma:

    \begin{equation*}    y = a_0 + a_1\,x \end{equation*}

En el curso de Geometría Analítica estudiamos la ecuación de la recta.

    \begin{equation*}    y = m\,x + b \end{equation*}

En la notación de funciones polinomiales, el coeficiente a_0 corresponde a la ordenada al origen b de la notación que usamos el semestre pasado y a_1 corresponde a la pendiente m. Ya estudiamos también el concepto de pendiente de la recta y vimos su interpretación geométrica.

    \begin{equation*}    m = \displaystyle\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}     = \frac{\D y}{\D x}     = \frac{\mbox{Incremento en }y}{\mbox{Incremento en }x} \end{equation*}

La pendiente m de la recta nos dice cuánto debemos subir (en la dirección del eje y) por cada unidad que avancemos hacia la derecha (en la dirección del eje x). En otras palabras, la pendiente es una razón de cambio.


Ejemplo 1

David necesita comprar pintura para pintar su casa. El litro de pintura le cuesta $125.00 pesos. Escibe una función que le ayude a calcular el importe y al comprar x litros de pintura. Explica cómo debemos interpretar la pendiente de esta función polinomial de grado uno.

Sabemos que cada litro le cuesta $125.00 pesos. Si compra x litros, el importe y será de 125\cdot x pesos. La función es, entonces:

    \begin{equation*}    y = 125\cdot x \end{equation*}

En esta función a_0 = 0, y a_1 = 125, el precio de cada litro de pintura. Y esa es la interpretación de la pendiente: ésta nos indica el precio unitario de pintura.

Un litro de pintura cuesta $125.00 pesos.


Observa cómo es que la pendiente nos indica que si queremos comprar un litro más de pintura debemos pagar $125.00 pesos más. Y de hecho, por cada litro de pintura, pagamos esa cantidad. La pendiente nos dice a qué razón crece el importe de la pintura comprada por David.


Ejemplo 2

Gabriel viaja en su coche de Chetumal a Cancún a una velocidad promedio de 85 km/h. Escribe la distancia y medida en kilómetros como una función del tiempo x medido en horas.

El problema dice que Gabriel viaja a una velocidad constante de 85 km/h. Esto significa que en una hora avanza 85 km. En dos horas avanza el doble y así sucesivamente. Entonces, la distancia y que recorre en x horas es:

    \begin{equation*}    y = 85\,x \end{equation*}

En este caso, la pendiente nos indica cuántos kilómetros de distancia recorre en una hora de tiempo. Es decir, la pendiente nos indica la velocidad.


En la primera lección de esta sección tuvimos oportunidad de deducir que el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de todos los números reales. Ahora vamos a deducir el contradominio de la función lineal, es decir, de la función polinomial de grado 1.

Utilizando el concepto de cerradura, y sabiendo que los números reales son cerrados bajo la suma y bajo la multiplicación, es evidente que, independientemente del valor x que le demos a la función, ésta siempre podrá devolvernos un número para asignarlo a y.

Si suponemos que el coeficiente principal, que en este caso coincide con la pendiente de la recta, es positivo, cuando los valores de x sean negativos y suficientemente grandes, tendremos valores de y negativos también. Por otra parte, cuando los valores de x sean positivos y suficientemente grandes, vamos a tener valores de y positivos.

Usando este mismo argumento podemos mostrar que si a_1 < 0, los valores de y van desde -\infty hasta \infty. Es decir, el contradominio de la función lineal y = a_1\,x + a_0 con a_1 \neq 0, es el conjunto de los números reales.

El caso particular cuando a_1 = 0 convierte la función en la función constante que estudiamos en la sección anterior: y = a_0. Como ya dijimos, en este caso el contradominio consta de un solo punto: a_0. También es claro que la función polinomial de grado uno no incluye a la recta vertical.

En primer lugar, debes recordar que una recta vertical no es una función, pues asigna a un solo valor de x una infinidad de valores de y. Y en segundo lugar, la pendiente en ese caso no estaría definida para la función (recuerda la definición de pendiente para convencerte de que esto es verdad).

De los ejemplos que hemos estudiado en lo que llevamos de esta sección podrás ver que podemos calcular el valor y en cada caso usando una regla de tres directa. Esto es así porque cada uno de los ejemplos resueltos involucra a dos cantidades que presentan variación directa.

Para resolver el problema del viaje de Gabriel en forma de regla de tres, escribimos en una columna el número de horas que ha viajado y en otra la distancia en kilómetros que ha recorrido en ese tiempo:

    \begin{eqnarray*}    \mbox{\enc{Tiempo} (hr)} & \Rightarrow & \mbox{\enc{Distancia} (km)}\\    \mbox{Datos conocidos: } \qquad\qquad 	1 & \Rightarrow & 85\\    \mbox{Para calcular: } 	\qquad\qquad	x & \Rightarrow & y \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    y = \frac{(85)\cdot (x)}{1} = 85\,x \end{equation*}

Y para el problema de David, tenemos:

    \begin{eqnarray*}    \mbox{\enc{Pintura} (L)} & \Rightarrow & \mbox{\enc{Importe} (\$)}\\    \mbox{Datos conocidos: } \qquad\qquad 	1 & \Rightarrow & 125\\    \mbox{Para calcular: } 	\qquad\qquad	x & \Rightarrow & y \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    y = \frac{(125)\cdot (x)}{1} = 125\,x \end{equation*}

Esto ya lo sabías, pero lo que tal vez no habías observado es que podemos relacionar a la función polinomial de grado uno con la variación directa, pero esto ocurre solamente en el caso en el que a_0 = 0. Porque si a_0 \neq 0 no se cumplirá en la regla de tres que cuando una cantidad sea cero, la otra sea cero también.

Cuando a_0 \neq 0 lo que podemos hacer es forzar a que pase por el origen, definiendo a_0 = 0, y realizar el cálculo. Después, sumamos de nuevo el valor que restamos a la función. Así podemos crear nuevos modelos lineales.

Ahora vamos a recordar cómo graficar funciones lineales. Para eso es una buena idea recordar lo que estudiamos en
la lección titulada Graficación de funciones y en el semestre pasado al estudiar la ecuación de la recta. Cuando escribimos la función polinomial de la forma:

    \begin{equation*}    y = a_0 + a_1\,x \end{equation*}

  • a_0 es la ordenada al origen, es decir, el punto donde la gráfica de la función corta aleje y,
  • a_1 es la pendiente de la recta.

La función, entonces, debe cortar al eje y en el punto (0,a_0), que es la ordenada al origen, y por cada uno que avancemos en el sentido del eje x debemos subir a_1 en el sentido del eje y, si a_1 > 0 o bajar cuando este coeficiente sea negativo.


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