Setup Menus in Admin Panel

  • LOGIN
  • No hay productos en el carrito.

La función lineal

Aprenderás el significado de los elementos de la función lineal.



Ejemplo 3

Grafica la función polinomial de primer grado:

    \begin{equation*}    y = 2\,x - 1 \end{equation*}

Para graficarla, empezamos con la gráfica de la función y = x. En el siguiente paso dilatamos, multiplicando por dos. Finalmente hacemos una traslación vertical.

Rendered by QuickLaTeX.com

Observa que en este caso, a_0 = -1. Por eso la gráfica corta al eje y en el punto (0,-1). Esta gráfica también satisface que por cada uno que nos movemos en el sentido positivo del eje x avanzamos a_1 = 2 en el sentido del eje y.



Ejemplo 4

Grafica la función polinomial de primer grado:

    \begin{equation*}    y = \displaystyle\frac{1}{2}\,x + 2 \end{equation*}

Ahora vamos a aplicar el método que aprendimos en el curso de geometría analítica. Primero vemos que la ordenada al origen de esta recta es el punto (0,2). También la pendiente nos está diciendo que por cada dos unidades que avanzamos en el sentido positivo del eje x debemos subir una unidad en el sentido positivo del eje y:

Rendered by QuickLaTeX.com


En los anteriores casos los dominios estaban formados por variables que podían tomar valores contínuos. Pero no siempre será así. A continuación graficaremos un caso aplicado. Aquí, el dominio estará formado por números racionales, dado que los precios se consideran ordinariamente en múltiplos de centavos, que equivalen a un centésimo de un peso.


Ejemplo 5

Doña Carmen compra y vende libros usados. Siempre los compra a un precio razonable para la persona que se los vende y los vende aumentando un 15% del precio al que lo compró. Grafica la función que considera a x como el precio del libro cuando lo compra Doña Carmen y a y como el precio de venta del mismo libro.

En este caso, si el precio del libro era de $1.00 peso, ella lo vende a $1.15 pesos. Es decir, por cada peso que invierte al comprar un libro ella recibe $1.15 pesos al venderlo. En otras palabras, la pendiente de la recta es ese número: m = a_1 = 1.15. Obviamente, si invierte cero pesos obtiene cero pesos. Así que la gráfica de la función pasa por el origen de coordenadas.

Rendered by QuickLaTeX.com

Observa que cuando el libro le cuesta $100.00 pesos ella lo vende a $115.00 pesos.


Puedes ver que el dominio de esta función está formado por todos los múltiplos de un centésimo mayores a cero. Sin embargo, se ha graficado como si se tratara de una función contínua. Esto se hace así para facilitar su estudio. Cuando realicemos un cálculo, es muy sencillo redondear el resultado al centésimo más cercano y así conocer el valor que tomará la función.


Ejemplo 6

Una fotocopiadora imprime 2 hojas por segundo. Si y representa el número de hojas impresas y t es el número de segundos, calcula la función y = f(t).


En primer lugar, observamos que esta función tiene por dominio al conjunto de los números enteros no negativos. Esto, porque no podemos poner a trabajar la fotocopiadora un número negativo de segundos.

El contradominio de esta función también es el conjunto de los números enteros no negativos, porque no se pueden imprimir, por ejemplo, 23.12 hojas.

La función debe indicar cómo depende el número de hojas impresas del tiempo. Esto es muy sencillo: como se imprimen dos hojas por segundo, multiplicamos el número de segundos por 2:

    \begin{equation*}    y = 2\,t \end{equation*}


Aunque la función que encontramos en este último ejemplo, estrictamente hablando es una función escalonada, es mejor tratarla como si fuera contínua. Si la vamos a graficar, tardamos menos y si la vamos a estudiar, sabemos que debemos truncar el resultado.

En este caso no es conveniente redondear porque si obtenemos que en 10.25 segundos la fotocopiadora puede imprimir 20.5 hojas, no tiene caso decir que se imprimieron 21, puesto que hay 20 impresas, la última está en proceso dentro de la fotocopiadora. Tú debes reconocer estos detalles.

En matemáticas generalmente se hacen este tipo de simplificaciones para hacer el análisis de sistemas y el analísta debe saber qué es lo que la ecuación o función dice y qué otras cosas no puede notar.


Ejemplo 7

Un inversionista sabe que si alquila cuartos para estudiantes universitarios a $1,200.00 pesos la mensualidad, puede rentar 25 cuartos, pero si la mensualidad es de $1,000 pesos, puede rentar 30 cuartos. Establece la ecuación de la recta que modela esta situación.

Podemos considerar a y como el precio mensual del alquiler del cuarto y a la variable x como el número de cuartos alquilados a ese precio. Entonces, tenemos dos puntos por donde pasa la recta: A(25, 1\,200) y B(30, 1\,000). Primero encontramos la pendiente de esta recta:

    \begin{equation*}    m = \frac{y_2- y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1\,200 - 1\,000}{25 - 30} = -\frac{200}{5} = -40 \end{equation*}

Ahora podemos calcular la ecuación de la recta usando la forma punto – pendiente:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 1\,000 &=& -40\,(x - 30)\\    y 	&=& -40\,x + 1\,200 + 1\,000\\ 	&=& -40\,x + 2\,200 \end{eqnarray*}

Por lo tanto, la ecuación que modela esta situación es:

    \begin{equation*}    y = -40\,x + 2\,200 \end{equation*}

donde x es el precio mensual de alquiler del cuarto y y es el número de cuartos que puede alquilar a ese precio. En palabras, esta función nos dice que si cobra la renta mensual a $2,200 pesos, podrá alquilar cero cuartos. Si aumenta el precio de alquiler en $40.00 pesos, deja de alquilar un cuarto. Si resolvemos -40\,x + 2\,200 = 0, obtenemos x = 55. Es decir, si logra rentar 55 cuartos, tendría que alquilarlos a $0.00 pesos.


Observa que si damos un valor a x obtenemos un valor para y diferente. Esto nos sugiere que si desea cambiar el número de cuartos que logre alquilar debe cambiar la renta mensual. Igualmente, podemos despejar x para saber cuántos cuartos va a poder alquilar dependiendo del precio de la renta mensual:

    \begin{equation*}    x = \frac{2\,200 - y}{40} \end{equation*}

Al escribir la función de esta forma vemos que si y = 2\,200, se sigue que x = 0.

VER TODOAdd a note
Añadir tu comentario
A+
X