Función Inversa

Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente existe a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.

Imagina que tienes la función $y = f(x)$ . Tú le das un valor ( $x$ ) y ella te devuelve otro ( $f(x)$ ). Una buena idea sería encontrar una función que cuando le demos el valor $f(x)$ nos devolviera $x$ , es decir, una máquina que haga la transformación inversa de $f(x)$ . En otras palabras, queremos encontrar una función que deshace la transformación que ocasiona la función $f$ sobre los números que le damos.

Contenido

1 Función inversa
2 Teorema
- 2.1 Demostración
3 Ejemplo 1
4 Ejemplo 2

Sea $f$ una función con dominio $\mathbb{X}_{f}$ y contradominio $\mathbb{Y}_f$ . Si existe una función $g$ con dominio $\mathbb{X}_g$ y contradominio $\mathbb{Y}_g$ tal que:

(i) $f(g(x)) = x$ para toda $x\in\mathbb{X}_{g}$
(ii) $g(f(x)) = x$ para toda $x\in\mathbb{X}_{f}$

entonces decimos que las funciones $f$ y $g$ son inversas una de la otra. $f^{-1}$ denota la función inversa de $f$ .

En otras palabras, si intercambiamos las coordenadas de los pares formados por $(x,f(x))$ obtenemos $(f(x),x)$ , que no son sino los puntos de la función inversa $f^{-1}$ . Es decir, el dominio de $f$ es el contradominio de $f^{-1}$ y el contradominio de $f$ es el dominio de $f^{-1}$ .

Importante
La notación de función inversa sugiere alguna relación con los exponentes, pero no es así. $f^{-1}(x)$ no significa $\displaystyle\frac{1}{f(x)}$ .
$\begin{equation*} f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)} \qquad\text{pero}\qquad \left(f(x)\right)^{-1} = \frac{1}{f(x)} \end{equation*}$

Utilizando el diagrama de función, podemos explicar el nuevo concepto:

No todas las funciones tienen función inversa. Esto se debe a la definición de función. Para que una relación sea considerada función, para cada elemento del dominio le debe corresponder a lo más un elemento del contradominio. Si una función debe tener función inversa, a cada elemento del contradominio le debe corresponder a lo más un elemento del dominio (por definición de función inversa). En otras palabras, para cada elemento del dominio de $f$ le corresponde un elemento de su contradominio y viceversa. Esto implica que para dos valores $a,b$ distintos, entonces $f(a)\neq f(b)$ . En otras palabras solamente para las funciones uno a uno podemos calcular su función inversa.

Ya se había mencionado en la lección anterior que si la función $f$ es uno a uno (inyectiva), entonces cumple con:

$\begin{equation*} \mbox{Si }a \neq b, \mbox{ entonces } f(a) \neq f(b) \end{equation*}$

y además, si $g$ es la inversa de $f$ , entonces, $g(f(a)) = a$ y $g(f(b)) = b$ , por lo que si $f(a) = f(b)$ , se sigue que $a = b$ .

Lo anterior nos suiere el siguiente resultado.

Teorema

Si la funcion $f$ tiene inversa, entonces, para cualesquiera dos elementos $a,b$ en el dominio de $f$ que cumplen $a\neq b$ , se tiene que $f(a) \neq f(b)$ .

En otras palabras, si una función tiene inversa, entonces es uno a uno y viceversa, si una función es uno a uno, entonces tiene unversa.

Demostración

Si $y_0$ está en el contradominio de la función $f$ , entonces este valor tiene asociado un único valor $x_0$ a partir del cual se le calculó usando $f$ . Es decir, $y_0 = f(x_0)$ .

Si definimos la función $g$ que toma como su dominio al contradominio de $f$ y asignamos al contradominio de $g$ los elementos del dominio de $f$ , estamos diciendo que $g$ es la función inversa de $f$ .

Tanto $f$ como $g$ son funciones (una inversa de la otra) porque cumplen con la condición de que a cada elemento del dominio le corresponde a lo más un elemento del contradominio, impuesto por la definición de función.

Ejemplo 1

Calcula la función inversa de la función:

$\begin{equation*} y = 2\,x + 7 \end{equation*}$

Por definición de función inversa, para cada $x$ le corresponde un $y$ y viceversa. La función directa es: $y = 2\,x + 1$ .

La función inversa deshace la transformación, es decir, le damos $y$ y ésta nos devuelve $x$ . En otras palabras, la variable independiente de la función directa viene siendo la variable independiente de la función inversa.
Y la variable dependiente de la función directa juega el papel de la variable independiente en la función inversa.
Así que vamos a despejar $x$ en términos de $y$ .

$\begin{eqnarray*} y &=& 2\,x + 7\\ y - 7 &=& 2\,x\\ \frac{y - 7}{2} &=& x \end{eqnarray*}$

Esta expresión puede verse como una función: nosotros le damos el valor de $y$ y ésta nos devuelve el valor de $x$ . Ahora cambiamos las variables para que se trate de la función inversa:

$\begin{equation*} f^{-1}(x) = \displaystyle\frac{x - 7}{2} \end{equation*}$

Con esto hemos terminado.

Vamos a verificar que el resultado del ejemplo anterior es correcto. Para eso, vamos a calcular valores de $y$ para la función directa y después vamos a hacer los cálculos resectivos para la función inversa.

$y = 2\,x + 7$		$y = \displaystyle\frac{x - 7}{2}$
$x$	$y$	$x$	$y$
0	7	7	0
1	9	9	1
2	11	11	2
3	13	13	3
4	15	15	4

Vamos a llamar $F$

a la función $y = 2\,x + 7$

, y $G$

a la función $y = (x - 7)/2$

. De las tablas vemos que si damos 0 a la función $F$

obtenemos 7. Por otra parte, si damos 7 la función $G$

obtenemos 0. Si damos 3 a $F$

ésta nos devuelve 13, y si damos 13 a $G$

nos devuelve 3. Esto está de acuerdo con la definición de función inversa. Es decir, $G = F^{-1}$

, la función $G$

es la función inversa de la función $F$

Es evidente de las tablas que el dominio de $F$ es el contradominio de $G$ y que el dominio de $G$ es el contradominio de $F$ (recuerda que $F(x)$ está en el contradominio de $F$ y que $x$ está en su dominio.) Puedes asignar otros valores y verás que para todos se cumple que $G(F(x)) = x$ . Es decir, cuando sustituimos el valor que nos devuelve la función $F$ (una vez que le damos un valor $x$ ), en la función $G$ obtenemos $x$ . Si la función directa no es uno a uno, entonces su dominio no es igual al contradominio de su inversa. También, su contradominio no es igual al dominio de su inversa.

Ejemplo 2

Calcula la función inversa de la función:

$\begin{equation*} y = f(x) = \frac{x^2 - 1}{2\,x} \end{equation*}$

Vamos a utilizar el mismo procedimiento. Despejamos $x$ y después cambiamos las literales de lugar. El problema ahora consiste en que tendremos que resolver una ecuación cuadrática. Por eso tendremos que usar la fórmula general:

$\begin{equation*} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}$

Empezamos escribiendo la ecuación cuadrática en su forma general:

$\begin{eqnarray*} y &=& \frac{x^2 - 1}{2\,x}\\ 2\,xy &=& x^2 - 1\\ x^2 - 2y\,x - 1 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Entonces, en este caso: $a = 1$ , $b = -2\,y$ , y $c = -1$ . Ahora sustitumos en la fórmula general:

$\begin{eqnarray*} x &=& \frac{-(-2y) \pm \sqrt{(-2y)^2 - 4\,(1)(-1)}}{2\,(1)}\\ &=& \frac{2y \pm \sqrt{4\,y^2 + 4}}{2}\\ &=& \frac{2y \pm \sqrt{4\,(y^2 + 1)}}{2}\\ &=& \frac{2y \pm 2\,\sqrt{y^2 + 1}}{2}\\ &=& y \pm \sqrt{y^2 + 1} \end{eqnarray*}$

Observa que el símbolo $\pm$ nos indica que para cada valor de $x$ le corresponden dos valores de $y$ . Esto se debe a que la función cuadrática $y = a\,x^2 + b\,x + c$ no es uno a uno. Así que tendremos que considerar solamente una parte de esta función.

Vamos a considerar solamente la parte que tiene el signo de suma. Entonces, la función inversa de $f$ es:

$\begin{equation*} f^{-1}(x) = x + \sqrt{x^2 + 1} \end{equation*}$

Debido a la forma como se define la función inversa, ésta tiene cierta simetría con la función directa. Al graficar $f$ y su inversa nos damos cuenta. El siguiente ejemplo muestra eso.

1 2

VER TODO

Add a note

TÚ

Añadir tu comentario

Función Inversa

Aprenderás a calcular la función inversa de una función dada.