Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente existe a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.
Imagina que tienes la función . Tú le das un valor (
) y ella te devuelve otro (
). Una buena idea sería encontrar una función que cuando le demos el valor
nos devolviera
, es decir, una máquina que haga la transformación inversa de
. En otras palabras, queremos encontrar una función que deshace la transformación que ocasiona la función
sobre los números que le damos.
Función inversa
Sea una función con dominio
y contradominio
. Si existe una función
con dominio
y contradominio
tal que:
- (i)
para toda
- (ii)
para toda
entonces decimos que las funciones y
son inversas una de la otra.
denota la función inversa de
.
En otras palabras, si intercambiamos las coordenadas de los pares formados por obtenemos
, que no son sino los puntos de la función inversa
. Es decir, el dominio de
es el contradominio de
y el contradominio de
es el dominio de
.
Importante
La notación de función inversa sugiere alguna relación con los exponentes, pero no es así.no significa
.
Utilizando el diagrama de función, podemos explicar el nuevo concepto:
No todas las funciones tienen función inversa. Esto se debe a la definición de función. Para que una relación sea considerada función, para cada elemento del dominio le debe corresponder a lo más un elemento del contradominio. Si una función debe tener función inversa, a cada elemento del contradominio le debe corresponder a lo más un elemento del dominio (por definición de función inversa). En otras palabras, para cada elemento del dominio de le corresponde un elemento de su contradominio y viceversa. Esto implica que para dos valores
distintos, entonces
. En otras palabras solamente para las funciones uno a uno podemos calcular su función inversa.
Ya se había mencionado en la lección anterior que si la función es uno a uno (inyectiva), entonces cumple con:
y además, si es la inversa de
, entonces,
y
, por lo que si
, se sigue que
.
Lo anterior nos suiere el siguiente resultado.
Teorema
Si la funcion tiene inversa, entonces, para cualesquiera dos elementos
en el dominio de
que cumplen
, se tiene que
.
En otras palabras, si una función tiene inversa, entonces es uno a uno y viceversa, si una función es uno a uno, entonces tiene unversa.
Demostración
Si está en el contradominio de la función
, entonces este valor tiene asociado un único valor
a partir del cual se le calculó usando
. Es decir,
.
Si definimos la función que toma como su dominio al contradominio de
y asignamos al contradominio de
los elementos del dominio de
, estamos diciendo que
es la función inversa de
.
Tanto como
son funciones (una inversa de la otra) porque cumplen con la condición de que a cada elemento del dominio le corresponde a lo más un elemento del contradominio, impuesto por la definición de función.
Ejemplo 1
Calcula la función inversa de la función:
Por definición de función inversa, para cada le corresponde un
y viceversa. La función directa es:
.
La función inversa deshace la transformación, es decir, le damos y ésta nos devuelve
. En otras palabras, la variable independiente de la función directa viene siendo la variable independiente de la función inversa.
Y la variable dependiente de la función directa juega el papel de la variable independiente en la función inversa.
Así que vamos a despejar en términos de
.
Esta expresión puede verse como una función: nosotros le damos el valor de y ésta nos devuelve el valor de
. Ahora cambiamos las variables para que se trate de la función inversa:
Con esto hemos terminado.
Vamos a verificar que el resultado del ejemplo anterior es correcto. Para eso, vamos a calcular valores de para la función directa y después vamos a hacer los cálculos resectivos para la función inversa.
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
0 | 7 | 7 | 0 | |
1 | 9 | 9 | 1 | |
2 | 11 | 11 | 2 | |
3 | 13 | 13 | 3 | |
4 | 15 | 15 | 4 | |
Vamos a llamar











Es evidente de las tablas que el dominio de es el contradominio de
y que el dominio de
es el contradominio de
(recuerda que
está en el contradominio de
y que
está en su dominio.) Puedes asignar otros valores y verás que para todos se cumple que
. Es decir, cuando sustituimos el valor que nos devuelve la función
(una vez que le damos un valor
), en la función
obtenemos
. Si la función directa no es uno a uno, entonces su dominio no es igual al contradominio de su inversa. También, su contradominio no es igual al dominio de su inversa.
Ejemplo 2
Calcula la función inversa de la función:
Vamos a utilizar el mismo procedimiento. Despejamos y después cambiamos las literales de lugar. El problema ahora consiste en que tendremos que resolver una ecuación cuadrática. Por eso tendremos que usar la fórmula general:
Empezamos escribiendo la ecuación cuadrática en su forma general:
Entonces, en este caso: ,
, y
. Ahora sustitumos en la fórmula general:
Observa que el símbolo nos indica que para cada valor de
le corresponden dos valores de
. Esto se debe a que la función cuadrática
no es uno a uno. Así que tendremos que considerar solamente una parte de esta función.
Vamos a considerar solamente la parte que tiene el signo de suma. Entonces, la función inversa de es:
Debido a la forma como se define la función inversa, ésta tiene cierta simetría con la función directa. Al graficar y su inversa nos damos cuenta. El siguiente ejemplo muestra eso.
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