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Función Inversa

Aprenderás a calcular la función inversa de una función dada.



Ejemplo 3

Calcula la función inversa de la función:

    \begin{equation*}    y = f(x) = 3\,x + 4 \end{equation*}

y grafica ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas.

Primero vamos a calcular la inversa:

    \begin{eqnarray*}    y &=& 3\,x + 4\\    y - 4 &=& 3\,x\\    \frac{y - 4}{3} &=& x \end{eqnarray*}

Y esto implica que la función inversa es:

    \begin{equation*}    y = \frac{x - 4}{3} \end{equation*}

A partir de esta función podemos llegar a la función directa. Para este fin necesitamos calcular su inversa. Utilizamos el mismo procedimiento:

    \begin{eqnarray*}    y &=& \frac{x - 4}{3}\\    3\,y &=& x - 4\\    3\,y + 4 &=& x \end{eqnarray*}

Ahora cambiamos las literales de posición y obtenemos la función directa.

    \begin{equation*}    y = 3\,x + 4 \end{equation*}

Entonces, la función inversa de la función inversa es la función directa. Lo anterior se cumple para cualquier función uno a uno. La siguiente gráfica muestra ambas funciones:

Rendered by QuickLaTeX.com

La recta y = x sirve como referencia. ¿Puedes explicar por qué?


Al observar las gráficas de las funciones fácilmente puedes verificar que las coordenadas de x de la función directa son las coordenadas de y de la función inversa y viceversa.

Esto se puede observar inmediatamente en la siguiente tabla:

    \begin{equation*}    \begin{array}{crrrrc}\toprule    \textcolor{red}{f} &    &   &   &    & \textcolor{blue}{f^{-1}}\\\midrule    \hspace{0.5ex}\textcolor{red}{x}\hspace{0.5ex} & -1 & ~0 & ~1 &  2 & \textcolor{blue}{y} \\    \textcolor{red}{y} &  1 &  4 &  7 & 10 & \textcolor{blue}{x}\\\bottomrule    \end{array} \end{equation*}

donde \textcolor{red}{f} es la función \textcolor{red}{y = 3\,x + 4}, mientras que \textcolor{blue}{f^{-1}} es la función: \textcolor{blue}{y =(x-4)/3}. Esto te debe permitir observar claramente que el dominio de f es el contradominio de f^{-1} y que el contradominio de f es el dominio de f{-1}. Esto es así porque la función es uno a uno.

Cuando desees calcular la función inversa de una función que no sea uno a uno esto último no se cumplirá.

El siguiente ejemplo muestra otro caso.


Ejemplo 4

Calcula la función inversa de la función:

    \begin{equation*}    y = f(x) = \sqrt{1 - x^2} \end{equation*}

y grafica ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas.

En este caso parece muy sencillo el despeje:

    \begin{eqnarray*}    y &=& \sqrt{1 - x^2}\\    y^2 &=& 1 - x^2\\    x^2 &=& 1 - y^2\\    x &=& \sqrt{1 - y^2} \end{eqnarray*}

Observa que solamente hemos considerado la parte positiva del despeje. Del resultado tenemos que: f^{-1}(x) = \sqrt{1 - x^2}.

La gráfica de la función directa y su inversa se muestran enseguida:

Rendered by QuickLaTeX.com

Observa que la función inversa solamente puede tomar valores no negativos de x. ¿Puedes explicar por qué?


Como solamente consideramos los valores positivos del contradominio de f, en la función inversa, la el dominio de f^{-1} solamente toma valores positivos. La gráfica dada en el ejemplo muestra este resultado. Esto ocurrirá cada vez que la función no sea uno a uno.


Ejemplo 5

Calcula la función inversa de la función:

    \begin{equation*}    y = f(x) = x^3 \end{equation*}

y grafica ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas

Primero calculamos la inversa:

    \begin{eqnarray*}    y &=&  x^3\\    y^{1/3} &=& x\\    \sqrt[3]{y} &=& x \end{eqnarray*}

Entonces, f^{-1} = \sqrt[3]{x}. La gráfica de la función y su inversa se muestra enseguida:

Rendered by QuickLaTeX.com

En este caso, el dominio de f corresponde con el contradominio de f^{-1} y el contradominio de f con el dominio de f^{-1}. Esto gracias a que f es uno a uno.

¿Puedes calcular f^{-1}(x) si f(x) = \sqrt[3]{x}?


En los siguientes capítulos estudiaremos varios tipos de funciones. Algunas de ellas tendrán inversa en intervalos adecuadamente definidos.

En segundo semestre estudiamos las funciones trigonométricas, y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x, Sus inversas son las funciones y = \arcsin x, y = \arccos x y y = \arctan x, respectivamente, las cuales muy frecuentemente se escriben y = \sin^{-1} x, y = \cos^{-1} x y y = \tan^{-1} x, para denotar las inversas de las funciones trigonométricas. Por ejemplo, en las calculadoras científicas se utiliza más esta notación.

Las funciones exponenciales y logarítmicas también son uno a uno y por tanto, tienen inversa. Estas funciones serán estudiadas en el capítulo cuatro de este semestre.

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