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Función Inversa

Aprenderás a calcular la función inversa de una función dada.

Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente existe a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.

Imagina que tienes la función y = f(x). Tú le das un valor (x) y ella te devuelve otro (f(x)). Una buena idea sería encontrar una función que cuando le demos el valor f(x) nos devolviera x, es decir, una máquina que haga la transformación inversa de f(x). En otras palabras, queremos encontrar una función que deshace la transformación que ocasiona la función f sobre los números que le damos.


Función inversa

Sea f una función con dominio \mathbb{X}_{f} y contradominio \mathbb{Y}_f. Si existe una función g con dominio \mathbb{X}_g y contradominio \mathbb{Y}_g tal que:

  • (i) f(g(x)) = x para toda x\in\mathbb{X}_{g}
  • (ii) g(f(x)) = x para toda x\in\mathbb{X}_{f}

entonces decimos que las funciones f y g son inversas una de la otra. f^{-1} denota la función inversa de f.




En otras palabras, si intercambiamos las coordenadas de los pares formados por (x,f(x)) obtenemos (f(x),x), que no son sino los puntos de la función inversa f^{-1}. Es decir, el dominio de f es el contradominio de f^{-1} y el contradominio de f es el dominio de f^{-1}.

Importante
La notación de función inversa sugiere alguna relación con los exponentes, pero no es así. f^{-1}(x) no significa \displaystyle\frac{1}{f(x)}.

    \begin{equation*} f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)}  \qquad\text{pero}\qquad \left(f(x)\right)^{-1} = \frac{1}{f(x)} \end{equation*}

Utilizando el diagrama de función, podemos explicar el nuevo concepto:

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No todas las funciones tienen función inversa. Esto se debe a la definición de función. Para que una relación sea considerada función, para cada elemento del dominio le debe corresponder a lo más un elemento del contradominio. Si una función debe tener función inversa, a cada elemento del contradominio le debe corresponder a lo más un elemento del dominio (por definición de función inversa). En otras palabras, para cada elemento del dominio de f le corresponde un elemento de su contradominio y viceversa. Esto implica que para dos valores a,b distintos, entonces f(a)\neq f(b). En otras palabras solamente para las funciones uno a uno podemos calcular su función inversa.

Ya se había mencionado en la lección anterior que si la función f es uno a uno (inyectiva), entonces cumple con:

    \begin{equation*}    \mbox{Si }a \neq b, \mbox{ entonces } f(a) \neq f(b) \end{equation*}

y además, si g es la inversa de f, entonces, g(f(a)) = a y g(f(b)) = b, por lo que si f(a) = f(b), se sigue que a = b.

Lo anterior nos suiere el siguiente resultado.


Teorema

Si la funcion f tiene inversa, entonces, para cualesquiera dos elementos a,b en el dominio de f que cumplen a\neq b, se tiene que f(a) \neq f(b).


En otras palabras, si una función tiene inversa, entonces es uno a uno y viceversa, si una función es uno a uno, entonces tiene unversa.

Demostración

Si y_0 está en el contradominio de la función f, entonces este valor tiene asociado un único valor x_0 a partir del cual se le calculó usando f. Es decir, y_0 = f(x_0).

Si definimos la función g que toma como su dominio al contradominio de f y asignamos al contradominio de g los elementos del dominio de f, estamos diciendo que g es la función inversa de f.

Tanto f como g son funciones (una inversa de la otra) porque cumplen con la condición de que a cada elemento del dominio le corresponde a lo más un elemento del contradominio, impuesto por la definición de función.



Ejemplo 1

Calcula la función inversa de la función:

    \begin{equation*} y = 2\,x + 7 \end{equation*}

Por definición de función inversa, para cada x le corresponde un y y viceversa. La función directa es: y = 2\,x + 1.

La función inversa deshace la transformación, es decir, le damos y y ésta nos devuelve x. En otras palabras, la variable independiente de la función directa viene siendo la variable independiente de la función inversa.
Y la variable dependiente de la función directa juega el papel de la variable independiente en la función inversa.
Así que vamos a despejar x en términos de y.

    \begin{eqnarray*}    y &=& 2\,x + 7\\    y - 7 &=& 2\,x\\    \frac{y - 7}{2} &=& x \end{eqnarray*}

Esta expresión puede verse como una función: nosotros le damos el valor de y y ésta nos devuelve el valor de x. Ahora cambiamos las variables para que se trate de la función inversa:

    \begin{equation*}    f^{-1}(x) = \displaystyle\frac{x - 7}{2} \end{equation*}

Con esto hemos terminado.


Vamos a verificar que el resultado del ejemplo anterior es correcto. Para eso, vamos a calcular valores de y para la función directa y después vamos a hacer los cálculos resectivos para la función inversa.

y = 2\,x + 7y = \displaystyle\frac{x - 7}{2}
xyxy
0770
1991
211112
313133
415154


Vamos a llamar F a la función y = 2\,x + 7, y G a la función y = (x - 7)/2. De las tablas vemos que si damos 0 a la función F obtenemos 7. Por otra parte, si damos 7 la función G obtenemos 0. Si damos 3 a F ésta nos devuelve 13, y si damos 13 a G nos devuelve 3. Esto está de acuerdo con la definición de función inversa. Es decir, G = F^{-1}, la función G es la función inversa de la función F.

Es evidente de las tablas que el dominio de F es el contradominio de G y que el dominio de G es el contradominio de F (recuerda que F(x) está en el contradominio de F y que x está en su dominio.) Puedes asignar otros valores y verás que para todos se cumple que G(F(x)) = x. Es decir, cuando sustituimos el valor que nos devuelve la función F (una vez que le damos un valor x), en la función G obtenemos x. Si la función directa no es uno a uno, entonces su dominio no es igual al contradominio de su inversa. También, su contradominio no es igual al dominio de su inversa.


Ejemplo 2

Calcula la función inversa de la función:

    \begin{equation*}    y = f(x) = \frac{x^2 - 1}{2\,x} \end{equation*}

Vamos a utilizar el mismo procedimiento. Despejamos x y después cambiamos las literales de lugar. El problema ahora consiste en que tendremos que resolver una ecuación cuadrática. Por eso tendremos que usar la fórmula general:

    \begin{equation*}    x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}

Empezamos escribiendo la ecuación cuadrática en su forma general:

    \begin{eqnarray*}    y &=& \frac{x^2 - 1}{2\,x}\\    2\,xy &=& x^2 - 1\\    x^2 - 2y\,x - 1 &=& 0 \end{eqnarray*}

Entonces, en este caso: a = 1, b = -2\,y, y c = -1. Ahora sustitumos en la fórmula general:

    \begin{eqnarray*}    x &=& \frac{-(-2y) \pm \sqrt{(-2y)^2 - 4\,(1)(-1)}}{2\,(1)}\\   &=& \frac{2y \pm \sqrt{4\,y^2 + 4}}{2}\\   &=& \frac{2y \pm \sqrt{4\,(y^2 + 1)}}{2}\\   &=& \frac{2y \pm 2\,\sqrt{y^2 + 1}}{2}\\   &=& y \pm \sqrt{y^2 + 1} \end{eqnarray*}

Observa que el símbolo \pm nos indica que para cada valor de x le corresponden dos valores de y. Esto se debe a que la función cuadrática y = a\,x^2 + b\,x + c no es uno a uno. Así que tendremos que considerar solamente una parte de esta función.

Vamos a considerar solamente la parte que tiene el signo de suma. Entonces, la función inversa de f es:

    \begin{equation*}    f^{-1}(x) = x + \sqrt{x^2 + 1} \end{equation*}


Debido a la forma como se define la función inversa, ésta tiene cierta simetría con la función directa. Al graficar f y su inversa nos damos cuenta. El siguiente ejemplo muestra eso.


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