Función exponencial

La función exponencial viene de la generalización de la función polinomial. Si consideramos la función: $y = x^2$ , por ejemplo, cabe preguntarnos, ¿cómo se comportaría la función si cambiamos de lugar la base y el exponente? Es decir, si escribimos: $y = 2^x$ , obtenemos otra función que es completamente diferente a la función $y = x^2$ . Este tipo de funciones son las que vamos a estudiar.

La función exponencial se define a partir de la motivación anterior. La única diferencia consiste en que la base no debe necesariamente ser 2. Puede ser cualquier constante positiva diferente de cero o uno.

Una función $f$ es exponencial si se puede expresar en la forma:

$\begin{equation*} f(x) = k\cdot a^x \end{equation*}$

donde $a\in\mathbb{R}$ es la base de la función exponencial, y es distinta a cero y a uno.

Observa que si $a = 0$ , entonces $a^x=0$ , independientemente del valor que le asignemos a $x$ . De manera semejante, si $a = 1$ , se sigue que $a^x=1$ para todo $x$ .

Ejemplo

Las siguientes funciones son exponenciales.

$y = 3^x$
$y = 5\cdot 2^{x/3}$
$y = \displaystyle\frac{2^x}{\sqrt{5}}$
$y = 3\cdot 10^{-x}$
$y = \pi^{x}$
$y = a\cdot\left(\displaystyle\frac{2}{7}\right)^x$ , donde $a$ es un número real.

Observa que el valor de la base puede ser cualquier número real positivo. No necesariamente debe ser un número entero.

Ejemplo 2

Grafica la función exponencial:

$\begin{equation*} y = 2^{x} \end{equation*}$

Calcula su dominio y su rango.

Podemos tabular algunos valores para $x$ y calcular los valores que le corresponden a $y$ :

$\begin{array}{cc} \hline x & y\\ \hline -3 & 0.125 \\ -2 & 0.250 \\ -1 & 0.500 \\ 0 & 1.000 \\ 1 & 2.000 \\ 2 & 4.000 \\ 3 & 8.000 \\ \hline \end{array}$

La gráfica es inmediata a partir de la información anterior:

Como siempre es posible calcular el valor de $y$ para cualquier valor de $x$ , tenemos que el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. Observa que la gráfica corta al eje $y$ en el punto $(0,1)$ . También es interesante ver que independientemente del valor de $x$ los valores de $y$ siempre son positivos. Además, $y$ nunca se hace cero. (¿Por qué?)