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Función exponencial

Aprenderás la definición de función exponencial.

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La función exponencial viene de la generalización de la función polinomial. Si consideramos la función: y = x^2, por ejemplo, cabe preguntarnos, ¿cómo se comportaría la función si cambiamos de lugar la base y el exponente? Es decir, si escribimos: y = 2^x, obtenemos otra función que es completamente diferente a la función y = x^2. Este tipo de funciones son las que vamos a estudiar.

La función exponencial se define a partir de la motivación anterior. La única diferencia consiste en que la base no debe necesariamente ser 2. Puede ser cualquier constante positiva diferente de cero o uno.


Función exponencial

Una función f es exponencial si se puede expresar en la forma:

    \begin{equation*}    f(x) = k\cdot a^x \end{equation*}

donde a\in\mathbb{R} es la base de la función exponencial, y es distinta a cero y a uno.


Observa que si a = 0, entonces a^x=0, independientemente del valor que le asignemos a x. De manera semejante, si a = 1, se sigue que a^x=1 para todo x.


Ejemplo

Las siguientes funciones son exponenciales.

  • y = 3^x
  • y = 5\cdot 2^{x/3}
  • y = \displaystyle\frac{2^x}{\sqrt{5}}
  • y = 3\cdot 10^{-x}
  • y = \pi^{x}
  • y = a\cdot\left(\displaystyle\frac{2}{7}\right)^x, donde a es un número real.

Observa que el valor de la base puede ser cualquier número real positivo. No necesariamente debe ser un número entero.


Ejemplo 2

Grafica la función exponencial:

    \begin{equation*}    y = 2^{x} \end{equation*}

Calcula su dominio y su rango.

Podemos tabular algunos valores para x y calcular los valores que le corresponden a y:

    \[\begin{array}{cc} \hline x & y\\ \hline -3 & 0.125 \\ -2 & 0.250 \\ -1 & 0.500 \\  0 & 1.000 \\  1 & 2.000 \\  2 & 4.000 \\  3 & 8.000 \\ \hline \end{array}\]

La gráfica es inmediata a partir de la información anterior:

Rendered by QuickLaTeX.com

Como siempre es posible calcular el valor de y para cualquier valor de x, tenemos que el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. Observa que la gráfica corta al eje y en el punto (0,1). También es interesante ver que independientemente del valor de x los valores de y siempre son positivos. Además, y nunca se hace cero. (¿Por qué?)

En conclusión: el rango de esta función es el conjunto de todos los números reales positivos.



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