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Función exponencial

Aprenderás la definición de función exponencial.


También es importante notar que los valores de y son siempre crecientes. Es decir, conforme x crece, los valores de y crecen más. En el ejemplo anterior el exponente era positivo, por eso los valores de y crecen. Cuando el exponente cambia de signo, los valores de y decrecen.


Ejemplo 3

Grafica la función:

    \begin{equation*}    y = 2^{-x} \end{equation*}

Calcula su dominio y contradominio.

De nuevo, hacemos una tabulación de diferentes valores de x y y:

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Observa que al cambiar el signo, el orden de los valores de y se invierten con respecto a la gráfica de la función anterior. Geométricamente esto representa una reflexión respecto del eje y. En realidad, eso es ocasionado por el cambio de signo del exponente. Observa que de nuevo, la gráfica de la función corta al eje y en el punto (0,1). Gracias a las leyes de los exponentes, podemos escribir:

    \begin{equation*}    y = 2^{-x} = \frac{1}{2^x} = \frac{1^x}{2^x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \end{equation*}


¿Qué pasará si dilatamos la gráfica de la función al multiplicarla por 3?, ¿cuál será la ordenada al origen de esta gráfica? En el siguiente ejemplo vamos a responder estas preguntas.


Ejemplo 4

Grafica la función:

    \begin{equation*}    y = 3\cdot 2^{-x} \end{equation*}

Esta función se obtuvo multiplicando por 3 la anterior. Geométricamente esto equivale a una dilatación vertical. La gráfica cambia en que se estiró tres veces en la dirección vertical.

    \[\begin{array}{cr} \hline x & y\\ \hline -3 & 24.000 \\%(-1.5,8.48)(-1,6)(0,3)(1,1.5)(2,0.75)(3,0.375)(4,0.1875)(5,0.094)(5.25,0.078) -2 & 12.000 \\ -1 & 6.000 \\  0 & 3.000 \\  1 & 1.500 \\  2 & 0.750 \\  3 & 0.375 \\ \hline \end{array}\]

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De nuevo, el dominio de esta función es el conjunto de los números reales. El contradominio es el conjunto de todos los números reales positivos. Gracias a las leyes de los exponentes, podemos escribir:

    \begin{equation*}    y = 3\cdot 2^{-x} = 3\cdot\left(\frac{1}{2^x}\right) = 3\cdot\left(\frac{1^x}{2^x}\right) = 3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^x \end{equation*}


Como puedes ver, la gráfica de la función exponencial se comporta de acuerdo al signo del exponente, pero también está afectada por el valor de la base.


Ejemplo 5

Grafica en un solo sistema de ejes coordenados las siguientes funciones exponenciales:

  • y = 2^x
  • y = 3^x
  • y = 4^x
  • y = 2^{-x}
  • y = 3^{-x}
  • y = 4^{-x}

Podemos tabular para obtener tablas para apoyarnos en la graficación de las funciones.

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Observa que todas las gráficas de estas funciones cortan al eje y en el mismo punto.
Se incluyó en la gráfica de la función y = 1 que corresponde al caso que no tiene variación, es decir, ni crece ni decrece.


¿Cómo puedes asegurar que y nunca se hace cero? Recuerda que la definición de potencia viene de la multiplicación repetida de la base.
Observa que para que si a \neq 0, entonces no importa cuántas veces multipliques el número a por sí mismo, siempre vamos a obtener un valor distinto de cero. También debes recordar que a^0 = 1 para cualquier base a \neq 0.

Para que el producto de dos números sea cero, se requiere que al menos uno de ellos sea cero. De otra forma, el producto será diferente de cero. Entonces, independientemente del valor de x, el resultado de calcular a^x \neq 0 para cualquier a \neq 0. Y para cualquier x \neq 0 se cumple que 0^x = 0.

De manera semejante, para cualquier x se cumple que 1^x = 1. Porque no importa cuántas veces multipliquemos el número 1 por sí mismo, siempre obtenemos 1. Por eso se excluyen estas bases de la definición de función, pues carecen de interés.
Sus gráficas son demasiado sencillas: son rectas horizontales.

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