La función cuadrática

En primer semestre estudiamos las ecuaciones cuadráticas. También resolvimos estas ecuaciones por el método gráfico. Para esto, tuvimos que convertir la ecuación en una función igualándola a la variable $y$ .

Ahora vamos a estudiar la función cuadrática, pero considerándola como un caso particular de la función polinomial.

Contenido

1 Función cuadrática
2 Ejemplo 1
3 Raíz de una función
4 Ejemplo 2

Función cuadrática

La función polinomial de grado dos:

$\begin{equation*} y = a_0 + a_1\,x + a_2\,x^2 \end{equation*}$

también se conoce como función cuadrática.

Cuando definimos la ecuación cuadrática utilizamos la forma:

$\begin{equation*} a\,x^2 + b\,x + c = 0 \end{equation*}$

Si la convertimos a función obtenemos:

$\begin{equation*} y = a\,x^2 + b\,x + c \end{equation*}$

De cuerdo a la nueva definición de función polinomial de segundo grado, tenemos que:

$\begin{equation*} a_0 = c\qquad\qquad a_1 = b\qquad\qquad \mbox{ y }\qquad\qquad a_2 = a \end{equation*}$

También debes recordar que los nombres de cada término están relacionados a las funciones polinomiales:

el nombre de cada término es importante, porque la mayor parte de las explicaciones está basada en estos términos y conceptos. En matemáticas, como en cualquier otro lenguaje, las reglas y los nombres de cada una de sus partes son muy importantes.

Ejemplo 1

Indica el término cuadrático, lineal e independiente de cada una de las siguientes funciones cuadráticas.

En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos. Tú debes ser capaz de identificar a cada uno de los términos.

Función	Término
$y = a\,x^2 + b\,x + c$	Cuadrático	Lineal	Independiente
$y = 2\,x^2$	$2\,x^2$	0	0
$y = \sqrt{5}\,x^2 + 12\,x - \displaystyle\frac{7}{2}$	$\sqrt{5}\,x^2$	$12\,x$	$-\displaystyle\frac{7}{2}$
$y = \displaystyle\frac{x^2}{5} + x = 100$	$\displaystyle\frac{x^2}{5}$	$x$	$-100$
$y = (x - 2)(3\,x + 5)$	$3\,x^2$	$-x$	$-10$

Observa que en el último caso se requiere realizar la multiplicación indicada para conocer cada uno de los términos.

Para calcular las soluciones de la ecuación cuadrática usamos diferentes métodos. Esos mismos métodos son los que vamos a utilizar para encontrar los puntos donde la gráfica de la función corta al eje $x$ .

Raíz de una función

Una raíz de la función $y = f(x)$ es un valor $x_0$ que hace que $f(x_0) = 0$ . La raíz de la función también se conoce como cero de la función.

Solamente para recordar, de nuevo mencionamos la interpretación geométrica de las raíces de la ecuación cuadrática, que están relacionadas con la fórmula general y la función cuadrática:

Entonces, si sustituyes $x_1$ ó $x_2$ en la función $y = a\,x^2 + b\,x + c$ obtenemos cero, precisamente porque estos valores son las raíces de la función. En otras palabras, $x_1$ y $x_2$ son las raíces de la ecuación cuadrática: $a\,x^2 + b\,x + c = 0$ .

Observa de la definición que si al sustituir el valor $x_0$ en la función $y = f(x)$ obtenemos cero, es decir, $f(x_0) = 0$ , entonces el valor $x_0$ es una raíz de la función.

Ejemplo 2

Calcula las raíces de la siguiente función cuadrática:

$\begin{equation*} y = x^2 + 6\,x + 8 \end{equation*}$

Podemos calcular las raíces de la función utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

$\begin{equation*} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}$

Ya sabemos que $a = 1$ , $b = 6$ , y $c =8$ . Así que si sustituimos y realizamos los cálculos obtenemos el resultado buscado:

$\begin{eqnarray*} x &=& \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a}\\ &=& \frac{-(6) \pm\sqrt{(6)^2 - 4\,(1)(8)}}{2\,(1)}\\ &=& \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}\\ &=& \frac{-6\pm \sqrt{4}}{2} \end{eqnarray*}$