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La función cuadrática

Aprenderás los elementos de la función cuadrática vista como una función polinomial.



Ejemplo 6

Encuentra dos números tales que su suma sea 10 y su producto sea máximo.

Si consideramos solamente números enteros, tenemos un número infinito de pares de números que suman 10. Por ejemplo, 12 y -2 son uno de esos pares. Si x es uno de los dos números, el otro será 10-x, porque al sumarlos obtenemos 10:

    \begin{equation*}    x + (10 - x) = 10 \end{equation*}

El problema exige que el producto de los dos números sea máximo. Para esto, vamos a definir la función:

    \begin{equation*}    y = x\,(10 - x) = 10\,x - x^2 \end{equation*}

Ahora el problema se convierte en encontrar el vértice de esta función cuadrática. El valor de x que hace que y = x\,(10 - x) = 10\,x - x^2 sea máximo está en el vértice:

    \begin{equation*}    x_v = -\frac{b}{2\,a} = - \frac{10}{2(-1)} = 5 \end{equation*}

Si x = 5, entonces, 10 - x también vale 5. Así que los dos números que sumados dan 10 y dan producto máximo son 5 y 5. Se te queda como ejercicio calcular las dos raíces de esta función y graficarla.


Este procedimiento servirá para resolver problemas prácticos.


Ejemplo 7

Don Gabriel debe cercar un terreno con los 40 metros de cerca que tiene para encerrar los becerros. Él desea crear el rectángulo que tenga mayor superficie. ¿Qué dimensiones debe tener el corral?

Sabemos que Don Gabriel va a utilizar toda la cerca con la que cuenta, porque quiere formar el corral con la mayor área posible. Entonces, el perímetro del corral será de 40 metros. Vamos a hacer un dibujo para representar la situación:

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Como el perímetro del corral es de 40 metros,

    \begin{equation*}    2\,x + 2\,h = 40 \end{equation*}

Podemos dividir ambos lados de la ecuación entre 2 y así obtenemos:

    \begin{equation*}    x + h = 20 \end{equation*}

El problema puede resolverse ahora como el anterior: encontrar dos números que sumados den 20 y que al multiplicarlos obtengamos el producto máximo. Observa que el área del corral se calcula con el producto x\cdot h (porque Área = base \times altura), y que h = 20 - x. Entonces, la función cuadrática que nos ayudará a resolver este problema puede definirse como:

    \begin{equation*}    y = x \cdot h = x\cdot(20 - x) = 20\,x - x^2 \end{equation*}

Como el coeficiente principal de la función es negativo el problema tiene un máximo. El vértice de esta función está en el punto:

    \begin{equation*}    x_v = -\frac{b}{2\,a} = -\frac{20}{2\,(-1)} = 10 \end{equation*}

Ahora podemos calcular: h = 20 - x = 20 - 10 = 10. Entonces, se trata de un corral de forma cuadrada de 10 metros de lado. El perímetro es, evidentemente (4)(10) = 40 metros. El área de este terreno es de (10)(10) = 100 metros cuadrados.



Ejemplo 8

Un topógrafo sabe que el largo de un terreno es un metro mayor a su ancho. Si el área del terreno es de 600 metros cuadrados, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?

Si x es el ancho del terreno, su largo, que es un metro mayor, es x+1. El área del terreno es igual al producto de la base por la altura. Si y es el área del terreno, entonces:

    \begin{equation*}    y = x\,(x+1) = x^2 + x \end{equation*}

Para calcular las dimensiones del terreno debemos igualar a 600 su área. Entonces, debemos resolver:

    \begin{equation*}    600 = x^2 + x \qquad\Rightarrow\qquad x^2 + x - 600 = 0 \end{equation*}

Ahora aplicamos la fórmula general para obtener:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a}	\\  &=& \frac{-(1) \pm\sqrt{(1)^2 - 4\,(1)(-600)}}{2\,(1)}\\  &=& \frac{-1 \pm \sqrt{1 - (-2\,400)}}{2}\\  &=& \frac{\themb\pm\sqrt{2\,401}}{2}\\ \end{eqnarray*}

Pero \sqrt{2401} = 49, entonces:

    \begin{eqnarray*}    x_1 &=& \frac{-1 + 49}{2} = \frac{48}{2} = 24\\    x_2 &=& \frac{-1 - 49}{2} = -\frac{50}{2} = -25\\ \end{eqnarray*}

Evidentemente, el ancho no puede ser un número negativo. Así que el ancho del terreno es x = 24. El largo es: x + 1 = 25. Ahora se te queda como ejercicio graficar la función y ver cómo cambia el área del terreno cuando x cambia de un valor a otro.



Ejemplo 9

Un inversionista sabe que si alquila cuartos para estudiantes universitarios a $1,200.00 pesos la mensualidad, puede rentar 25 cuartos, pero si la mensualidad es de $1,000 pesos, puede rentar 30 cuartos. ¿A qué precio debe alquilar los cuartos para obtener el mayor ingreso mensual?

Si definimos:

    \[\begin{array}{ll}    y\rightarrow & \mbox{el precio mensual del alquiler del cuarto}\\    x\rightarrow & \mbox{el n\'umero de cuartos alquilados a ese precio} \end{array}\]

entonces, la ecuación que indica cómo varía el número de cuartos alquilados conforme varía el precio es:

    \begin{equation*}    y = 2\,200 - 40\,x \end{equation*}

Nosotros queremos calcular el máximo ingreso. El ingreso que obtiene ese inversionista al alquilar x cuartos es:

    \[\begin{array}{ccccc}\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \mbox{Ingreso} &=& (\mbox{precio de cada cuarto}) &\cdot& (\mbox{n\'umero de cuartos alquilados}) \\              I &=& \left(2\,200 - 40\,x\right)    &\cdot& x \end{array}\]

Al realizar la multiplicación que queda indicada obtenemos:

    \begin{equation*}    I = 2\,200\,x - 40\,x^2 \end{equation*}

Para encontrar el máximo aplicamos la fórmula para calcular x_v:

    \begin{equation*}    x_v = -\frac{b}{2\,a} = -\frac{2\,200}{(2)\cdot(-40)} = \frac{2\,200}{80} = 27.5 \end{equation*}

Debe alquilar 27 cuartos para obtener el mayor ingreso posible. La renta mensual de cada cuarto es de:

    \begin{equation*}    y = 2\,200 - 40\,x = 2\,200 - 40\,(27) = 1\,120 \mbox{ pesos.} \end{equation*}

El ingreso que obtendrá es:

    \begin{equation*}    I(27) = 2\,200\,x - 40\,x^2 = 2\,200\,(27) - 40\,(27)^2 = 30\,240\mbox{ pesos.} \end{equation*}

Se te queda como ejercicio graficar esta función cuadrática y calcular sus raíces.


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