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La función cuadrática

Aprenderás los elementos de la función cuadrática vista como una función polinomial.



Ejemplo 3

Grafica la función:

    \begin{equation*}    y = x^2 + 6\,x + 8 \end{equation*}

Ahora vamos a graficar la función del ejemplo anterior. Sabemos que la parábola abre hacia arriba porque el coeficiente principal es positivo. También sabemos que en x=-2, y en x = -4 la función se hace cero, dado que esas son sus raíces. Finalmente, cuando sustituimos x=0 en la función encontramos que y = 8.

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Como ya sabes, el dominio de esta función es el conjunto de los números reales. Para calcular el contradominio observa que los valores de y para los cuales la función tiene gráfica empiezan en y = -1 y se extienden haste \infty. Entonces, el contradominio de la función es: [-1,\infty).

Observa que hemos usado un corchete en lugar de un paréntesis para indicar que el valor frontera y=-1 también está en el contradominio de la función. Para comprobar que es así, sustituye x=-3 en f(x) = x^2 + 6\,x + 8.


Como en el caso de las ecuaciones cuadráticas, las funciones cuadráticas tienen exactamente dos raíces.

En algunos casos las dos raíces serán reales y repetidas. Esto ocurrirá cuando la parábola toque tangentemente al eje x. En ese caso, el valor del discriminante b^2 - 4\,ac será igual a cero (Recuerda la interpretación geométrica dada antes).

Finalmente, el caso extremo consiste cuando la gráfica de la función no corta al eje x, entonces tendremos dos raíces complejas conjugadas. Es decir, si x_1 = p + i\,q, es una raíz de la función, entonces también lo será el valor: x_2 = p - i\,q.


Conjugado de un número complejo

Sea z = a + i\,b un número complejo. El conjugado de z denotado por \bar{z} es:

    \begin{equation*} \bar{z} = a - i\,b \end{equation*}



Ejemplo 4

Calcula las raíces de la función:

    \begin{equation*}    y = x^2 + 4\,x + 8 \end{equation*}

y grafícala.


Ahora utilizamos el método de completar cuadrados. Es fácil observar que

    \begin{equation*}    (x + 2)^2 = x^2 + 4\,x + 4 \end{equation*}

Nosotros vamos a sumar 4 en ambos lados de la igualdad anterior y obtenemos:

    \begin{equation*}    y = (x + 2)^2  + 4 = x^2 + 4\,x + 8 \end{equation*}

Para encontrar las raíces de la función vamos a igualar a cero la expresión anterior y despejamos x:

    \begin{eqnarray*}    y = (x + 2)^2  + 4 &=& 0\\    (x + 2)^2 &=& -4 \end{eqnarray*}

Observa cómo debemos elevar al cuadrado un número y obtener como resultado -4. Esto nos indica que la gráfica de la función no corta al eje x. De cualquier manera vamos a calcular sus raíces:

    \begin{eqnarray*}    x + 2 &=& \pm\sqrt{-4}\\    x &=& -2\pm\sqrt{(-1)(4)}\\    &=& -2\pm 2\sqrt{-1}\\    &=& -2\pm 2\,i \end{eqnarray*}

Observa que las raíces de la función son complejas conjugadas. Ahora no podemos usar las raíces para graficar la función. Es mejor usar la forma que obtuvimos cuando completamos el cuadrado. Solamente aplicamos una traslación vertical y una horizontal a la parábola y = x^2.

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Ahora indica cuál es el contradominio de esta función.


Observa que el mínimo valor que toma esta función es y=4, precisamente cuando x = -2.

En otras palabras, el vértice de la parábola corresponde con el mínimo o máximo de una función cuadrática. Observando la fórmula general:

    \begin{equation*}    x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}

vemos que si la función tiene dos raíces reales, éstas están a la misma distancia del eje de la parábola. Esto nos sugiere una forma sencilla de calcular el vértice de la parábola, es decir, el mínimo o máximo de la función cuadrática.

Si el discriminante D = b^2 - 4\,ac = 0 la distancia del eje a cada raíz es cero, es decir, las dos raíces son iguales y están sobre el eje, y el valor ambas es: x_v = -b/(2\,a).

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Esta es una fórmula que nos permitirá calcular muy fácilmente el máximo o mínimo de una función cuadrática.


Ejemplo 5

Grafica la función:

    \begin{equation*}    y = -x^2 + 2\,x \end{equation*}

Y calcula las coordenadas de su vértice.

Primero calculamos las raíces de esta función. Para esto, utilizaremos el método de factorización:

    \begin{eqnarray*}    -x^2 + 2\,x =0 &\Rightarrow& -x(x - 2) = 0\qquad\Rightarrow\\    x &=& 0\\    x &=& 2 \end{eqnarray*}

También podemos calcular dónde está el vértice. Primero observa que el punto que está exactamente en medio de x=0 y x=2 es x=1. Ahora verificamos aplicando la fórmula:

    \begin{equation*}    x_v = -\frac{b}{2\,a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \end{equation*}

Para saber el valor de y cuando x=1 sustituimos en la función:

    \begin{equation*}    y(1) = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1 \end{equation*}

Entonces, el vértice de la parábola está en el punto V(1,1). Como el coeficiente principal es negativo, la parábola abre hacia abajo y tiene un máximo:

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¿Cuál es el contradominio de esta función?

Observa que el vértice de la parábola corresponde a un máximo cuando el coeficiente principal de la función es negativo, es decir cuando a_2 < 0, porque entonces la parábola abre hacia abajo. Por otra parte, la función tendrá un mínimo cuando a_2 sea positivo, porque entonces la parábola abrirá hacia arriba.

Comparando las dos formas de la función cuadrática:

    \begin{eqnarray*}    y &=& a\,x^2 + b\,x + c\\    y &=& a_2\,x^2 + a_1\,x + a_0 \end{eqnarray*}

y recordando que el vértice de la parábola está en

    \begin{equation*}    x_v = -\frac{b}{2\,a} = - \frac{a_1}{2\,a_2} \end{equation*}

vemos que el vértice de la función cuadrática está en el punto:

    \begin{equation*}    V\left(-\frac{a_1}{2\,a_2}, f\left(-\frac{a_1}{2\,a_2}\right)\right) \end{equation*}


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