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La función cuadrática

Aprenderás los elementos de la función cuadrática vista como una función polinomial.

En primer semestre estudiamos las ecuaciones cuadráticas. También resolvimos estas ecuaciones por el método gráfico. Para esto, tuvimos que convertir la ecuación en una función igualándola a la variable y.

Ahora vamos a estudiar la función cuadrática, pero considerándola como un caso particular de la función polinomial.


Función cuadrática

La función polinomial de grado dos:

    \begin{equation*}    y = a_0 + a_1\,x + a_2\,x^2 \end{equation*}

también se conoce como función cuadrática.


Cuando definimos la ecuación cuadrática utilizamos la forma:

    \begin{equation*}    a\,x^2 + b\,x + c = 0 \end{equation*}

Si la convertimos a función obtenemos:

    \begin{equation*}    y = a\,x^2 + b\,x + c \end{equation*}

De cuerdo a la nueva definición de función polinomial de segundo grado, tenemos que:

    \begin{equation*}    a_0 = c\qquad\qquad    a_1 = b\qquad\qquad    \mbox{ y }\qquad\qquad    a_2 = a \end{equation*}

También debes recordar que los nombres de cada término están relacionados a las funciones polinomiales:

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el nombre de cada término es importante, porque la mayor parte de las explicaciones está basada en estos términos y conceptos. En matemáticas, como en cualquier otro lenguaje, las reglas y los nombres de cada una de sus partes son muy importantes.


Ejemplo 1

Indica el término cuadrático, lineal e independiente de cada una de las siguientes funciones cuadráticas.

En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos. Tú debes ser capaz de identificar a cada uno de los términos.

FunciónTérmino
y = a\,x^2 + b\,x + cCuadráticoLinealIndependiente
y = 2\,x^22\,x^200
y = \sqrt{5}\,x^2 + 12\,x - \displaystyle\frac{7}{2}\sqrt{5}\,x^212\,x-\displaystyle\frac{7}{2}
y = \displaystyle\frac{x^2}{5} + x = 100\displaystyle\frac{x^2}{5}x-100
y = (x - 2)(3\,x + 5)3\,x^2-x-10

Observa que en el último caso se requiere realizar la multiplicación indicada para conocer cada uno de los términos.


Para calcular las soluciones de la ecuación cuadrática usamos diferentes métodos. Esos mismos métodos son los que vamos a utilizar para encontrar los puntos donde la gráfica de la función corta al eje x.


Raíz de una función

Una raíz de la función y = f(x) es un valor x_0 que hace que f(x_0) = 0. La raíz de la función también se conoce como cero de la función.


Solamente para recordar, de nuevo mencionamos la interpretación geométrica de las raíces de la ecuación cuadrática, que están relacionadas con la fórmula general y la función cuadrática:

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Entonces, si sustituyes x_1 ó x_2 en la función y = a\,x^2 + b\,x + c obtenemos cero, precisamente porque estos valores son las raíces de la función. En otras palabras, x_1 y x_2 son las raíces de la ecuación cuadrática: a\,x^2 + b\,x + c = 0.

Observa de la definición que si al sustituir el valor x_0 en la función y = f(x) obtenemos cero, es decir, f(x_0) = 0, entonces el valor x_0 es una raíz de la función.


Ejemplo 2

Calcula las raíces de la siguiente función cuadrática:

    \begin{equation*}    y = x^2 + 6\,x + 8 \end{equation*}


Podemos calcular las raíces de la función utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

    \begin{equation*}    x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}

Ya sabemos que a = 1, b = 6, y c =8. Así que si sustituimos y realizamos los cálculos obtenemos el resultado buscado:

    \begin{eqnarray*}    x &=& \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a}\\     &=& \frac{-(6) \pm\sqrt{(6)^2 - 4\,(1)(8)}}{2\,(1)}\\     &=& \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}\\     &=& \frac{-6\pm \sqrt{4}}{2} \end{eqnarray*}

Lo cual puede reducirse a:

    \begin{eqnarray*}    x &=& \frac{-6\pm2}{2}\\    x_1 &=& \frac{-6+2}{2} = -2\\    x_2 &=& \frac{-6-2}{2} = -4 \end{eqnarray*}

Para comprobar que en realidad esos valores son las raíces de la función, sustituimos:

    \begin{eqnarray*}    f(x_1) &=& (-2)^2 + 6\,(-2) + 8  = 4 - 12 + 8 = 0\\    f(x_2) &=& (-4)^2 + 6\,(-4) + 8  = 16 - 24 + 8 = 0 \end{eqnarray*}

Por definición, estas son las raíces de la función.



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