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Integración por fracciones parciales: Denominadores lineales

Aprenderás a calcular antiderivadas por el método de fracciones parciales cuando los denominadores de las fracciones son lineales.

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Cuando debemos calcular la integral de una función racional algunas veces necesitamos transformar el integrando de la función de tal manera que obtengamos una que se pueda integrar inmediatamente. Para eso utilizamos el método de fracciones parciales. En este tipo de integrales estudiaremos los dos casos más sencillos.

  • Cuando el denominador tiene factores lineales.
  • Cuando el denominador tiene factores cuadráticos.

Cuando al sumar dos fracciones algebraica obtenemos una nueva fracción con denominador que se puede factorizar hasta tener factores lineales, significa que los denominadores de cada fracción, bien eran lineales todos, bien uno de los factores era cuadrático factorizable. En esta lección vamos a estudiar el primer caso.

Denominadores con factores lineales

La idea para resolver este tipo de integrales consiste en que tenemos que expresar una fracción que no se integra de manera inmediata como suma de otras fracciones que sí se pueden integrar inmediatamente.


Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{3\,x - 1}{x^2 - x}\,dx \end{equation*}

Empezamos notando que la integral no es inmediata, así que tenemos que transformarla. Para empezar, podemos factorizar el denominador:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)}\,dx \end{equation*}

Ahora, dado que cuando sumamos dos fracciones en el denominador obtenemos el producto de los denominadores de las fracciones que se sumaron, tal vez sea posible expresar el radicando como la suma de dos fracciones. Es decir, debemos encontrar A y B tales que:

    \begin{equation*}    \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)} \end{equation*}

Para eso, primero vamos a realizar la suma de fracciones:

    \begin{equation*}    \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{A\,(x-1) + B\,x}{x\,(x - 1)} = \frac{(A + B)\,x - A}{x\,(x - 1)} \end{equation*}

En la fracción inicial, teníamos por numerador: 3\,x - 1. El coeficiente de x del numerador es 3 y de acuerdo a la suma de las fracciones, debe cumplir: A + B = 3. Por otra parte, el término independiente debe ser -1, y por la suma de las fracciones tenemos: -A = -1. Entonces, A = 1 y B = 2. Esto significa que podemos reescribir la integral como:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)}\,dx = \int\!\frac{dx}{x} + \int\!\frac{2\,dx}{x - 1} \end{equation*}

Estas integrales son inmediatas:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)}\,dx = \ln x + 2\,\ln(x-1) + C \end{equation*}

Y terminamos.


Observa que suponemos que existen dos valores A,B que satisfacen las condiciones para que:

    \begin{equation*}    \frac{A}{mx + b} + \frac{B}{nx + c} = \frac{kx + l}{(mx + b)(nx + c)} \end{equation*}

Eso significa que:

    \begin{equation*}    \frac{A\,(nx + c) + B\,(mx + b)}{(mx + b)(nx+c)}  	= \frac{(\textcolor{red}{An + Bm})\,x + (\textcolor{blue}{Ac + Bd})}{(mx + b)(nx+c)} 	= \frac{\textcolor{red}{k}x + \textcolor{blue}{l}}{(mx + b)(nx + c)} \end{equation*}

Pero para que A,B satisfagan la igualdad en las fracciones, se requiere que los coeficientes de los términos del mismo grado sean iguales, es decir, el coeficiente del término lineal sea igual para ambas fracciones (An + Bm = k), así como para el término independiente (Ac + Bd = l). Así que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccl}    n\,A &+& m\,B &=& k\\    c\,A &+& d\,B &=& l \end{array}\]

Este sistema de ecuaciones tendrá solución siempre que el determinante:

    \[\left\vert    \begin{array}{cc}    n & m \\    c & d    \end{array}     \right\vert    \neq 0\]

Esto significa que no siempre es posible expresar una fracción como la suma de otras dos, por lo que este método no siempre funcionará.


Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{5\,x + 17}{x^2 + 6\,x + 5}\,dx \end{equation*}

Primero debemos observar que el denominador del integrando se puede factorizar:

    \begin{equation*}    \frac{5\,x + 17}{x^2 + 6\,x + 5} = \frac{5\,x + 17}{(x + 1)(x + 5)} \end{equation*}

Ahora buscamos dos números A,B que cumplan:

    \begin{equation*}    \frac{5\,x + 17}{(x + 1)(x + 5)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+5} \end{equation*}

Empezamos haciendo la suma de fracciones:

    \begin{equation*}    \frac{\textcolor{red}{5}\,x + \textcolor{blue}{17}}{(x + 1)(x + 5)}  	= \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 5}  	= \frac{A\,(x + 5) + B\,(x + 1)}{(x + 1)(x + 5)} = \frac{(\textcolor{red}{A + B})\,x + (\textcolor{blue}{5\,A + B})}{(x + 1)(x + 5)} \end{equation*}

Esto implica:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccl} A &+& B &=& 5\\ 5\,A &+& B &=& 17 \end{array}\]

La solución de este sistema de ecuaciones se obtiene multiplicando la primera ecuación por -1 y sumando. Así obtenemos la ecuación: 4\,A = 12, que implica A = 3. De la primera ecuación: A + B = 5 y dado que A = 3, se obtiene: B = 2. Entonces, podemos expresar la integral como:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{5\,x + 17}{x^2 + 6\,x + 5}\,dx &=& \int\!\left(\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x + 5}\right)\,dx\\ 	&=& \int\!\frac{3\,dx}{x + 1} + \int\!\frac{2\,dx}{x + 5} \end{eqnarray*}

Estas integrales son inmediatas:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{5\,x + 17}{x^2 + 6\,x + 5}\,dx = 3\,\ln(x+1) + 5\,\ln(x+5)+ C \end{equation*}

Y terminamos.



Ejemplo

Calcula la integral:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{7\,x - 6}{x\,(x + 2)(x - 3)}\,dx \end{equation*}

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Empezamos notando que el denominador está factorizado y que todos sus factores son lineales. Dado que son tres factores, debemos encontrar tres números A,B,C, tales que:

    \begin{equation*}    \frac{\textcolor{red}{7}\,x \textcolor{blue}{- 6}}{x\,(x + 2)(x - 3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-3} \end{equation*}

Al hacer la suma de las fracciones obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-3} &=&= \frac{A\,(x+2)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+2)}{x\,(x + 2)(x - 3)}\\ 	&=& \frac{(A + B + C)\,x^2 + (\textcolor{red}{2C - A - 3B})\,x \textcolor{blue}{-6A}}{x\,(x + 2)(x - 3)} \end{eqnarray*}

Observa que el coeficiente del término cuadrático debe ser igual a cero, debido a que en la fracción de la
integral inicial éste no aparece. Entonces, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

    \[\begin{array}{ccccl}     A &+&    B &+&    C &=& 0\\ -   A &-& 3\,B &+& 2\,C &=& 7\\ -6\,A & &      & &      &=& -6 \end{array}\]

De la tercera ecuación encontramos inmediatamente que A = 1. Sustituyendo este valor en las otras dos ecuaciones obtenemos un S.E.L. de 2 \times 2:

    \[\begin{array}{ccccl}    B &+&    C &=& -1\\ -3\,B &+& 2\,C &=& 8\\ \end{array}\]

La solución de este sistema de ecuaciones es: B = -2, y C = 1. Ahora podemos sustituir los valores de A,B y C en la fracción parcial:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{7\,x - 6}{x\,(x + 2)(x - 3)}\,dx = \int\!\frac{dx}{x} -2\,\int\!\frac{dx}{x+2} + \int\!\frac{dx}{x-3} \end{equation*}

Cada una de las integrales es inmediata:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{7\,x - 6}{x\,(x + 2)(x - 3)}\,dx = \ln x - 2\,\ln(x + 2) + \ln(x - 3) + C \end{equation*}


En todos los ejemplos que hemos resueltos hemos obtenido valores de los coeficientes A,B y C enteros. Pero eso no siempre ocurrirá.


Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{x+2}{(x-1)(x+5)(2\,x-1)}\,dx \end{equation*}

Empezamos escribiendo el integrando como suma de fracciones:

    \begin{equation*}    \frac{\textcolor{red}{1}\,x + \textcolor{blue}{2}}{(x - 1)(x + 5)(2\,x - 1)}	= \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 5} + \frac{C}{2\,x - 1} \end{equation*}

Ahora necesitamos calcular A,B y C que hagan que esta igualdad se cumpla. Al hacer la suma de fracciones y simplificar obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{x + 2}{(x - 1)(x + 5)(2\,x - 1)} = \frac{(2A + 2B + C)\,x^2 + (\textcolor{red}{9A - 3B + 4C})\,x \textcolor{blue}{-5A + B + 4C}}{(x - 1)(x + 5)(2\,x - 1)} \end{equation*}

Esto nos sugiere resolver el sistema de ecuaciones:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccl}  2\,A &+& 2\,B &+&    C &=& 0\\  9\,A &-& 3\,B &+& 4\,C &=& 1\\ -5\,A &+&    B &+& 4\,C &=& 2 \end{array}\]

La solución de este S.E.L. es: A = -1/10, B = -1/10, y C = 2/5. Al sustituir estos valores en la integral obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{x+2}{(x-1)(x+5)(2\,x-1)}\,dx  	&=& \int\!\left(-\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{x-1} - \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{x+5} + \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2\,x-1}\right)\,dx\\ 	&=& -\frac{1}{10}\int\!\frac{dx}{x-1} - \frac{1}{10}\int\!\frac{dx}{x+5} + \frac{1}{5}\int\!\frac{2\,dx}{2\,x-1}\\ 	&=& -\frac{1}{10}\,\ln(x-1) - \frac{1}{10}\,\ln(x+5) + \frac{1}{5}\,\ln(2\,x - 1) + C \end{eqnarray*}



Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{9\,x^2 + 4\,x - 11}{(x+1)(x+2)(x-3)}\,dx \end{equation*}

Como los factores en el denominador son todos lineales, suponemos que hay números reales A,B,C que satisfacen:

    \begin{equation*}    \frac{9\,x^2 + 4\,x - 11}{(x+1)(x+2)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-3} \end{equation*}

Al realizar la suma de fracciones que quedó indicada obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{\textcolor{red}{9}\,x^2 + \textcolor{blue}{4}\,x \textcolor{cyan}{- 11}}{(x+1)(x+2)(x-3)} = \frac{(\textcolor{red}{A+B+C})\,x^2 + (\textcolor{blue}{-A-2B+3C})\,x + (\textcolor{cyan}{-6A-3B+2C})}{(x+1)(x+2)(x-3)} \end{equation*}

Entonces, el sistema de ecuaciones lineales que debemos resolver es:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccl} A &+& B &+& C &=& 9\\ -A &-& 2B &+& 3C &=& 4\\ -6A &-& 3B &+& 2C &=& -11 \end{array}\]

La solución de este S.E.L. es: A = 2, B = 3 y C = 4. Entonces, la integral puede reescribirse como:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{9\,x^2 + 4\,x - 11}{(x+1)(x+2)(x-3)}\,dx &=& \int\!\left(\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x+2} + \frac{4}{x-3}\right)\,dx\\ 	&=& \int\!\frac{2}{x+1} + \int\!\frac{3}{x+2}\,dx + \int\!\frac{4}{x-3}\,dx\\ 	&=&2\,\ln(x + 1) + 3\,\ln(x + 2) + 4\,\ln(x - 3) + C \end{eqnarray*}

Y terminamos.


Recuerda que no siempre es posible expresar una fracción como suma de varias fracciones.

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