Integración por fracciones parciales: Denominadores cuadráticos

El siguiente caso de integrales que se resuelven por el método de fracciones parciales es en el que en el denominador tenemos factores cuadráticos. En este caso, tendremos un factor que no se puede factorizar como un polinomio lineal. Por ejemplo: $x^2 + 5$ .

Supongamos que deseamos expresar la siguiente fracción como la suma de otras fracciones:

$\begin{equation*} \frac{a\,x + b}{x\,\left(x^2 + 1\right)} = \frac{A}{x} + \frac{B\,x + C}{x^2 + 1} \end{equation*}$

Nosotros suponemos que hay números $A,B,C$ que satisfacen la ecuación anterior. Si eso es verdad, tenemos:

$\begin{eqnarray*} \frac{a\,x + b}{x\,\left(x^2 + 1\right)} &=& \frac{A}{x} + \frac{B\,x + C}{x^2 + 1}\\ &=& \frac{A\,(x^2 + 1) + (B\,x + C)\,x}{x\,(x^2 + 1)}\\ &=& \frac{A\,x^2 + A + B\,x^2 + C\,x}{x\,(x^2 + 1)}\\ &=& \frac{(A + B)\,x^2 + C\,x + A}{x\,\left(x^2 + 1\right)} \end{eqnarray*}$

Como mencionamos en la sección anterior, para que la igualdad se cumpla se requiere que los coeficientes de términos semejantes sean iguales en los dos lados de la igualdad. Eso se cumplirá cuando:

$\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccccl} A &+& B & & &=& 0\\ & & & & C &=& a\\ A & & & & &=& b \end{array}$

Por la primera ecuación tenemos que $B = -A$ , pero por la tercera ecuación tenemos que $A = b$ , luego, $B = -b$ . También, por la segunda ecuación tenemos que $C = a$ . Entonces, podemos escribirla fracción inicial dela siguiente forma:

$\begin{equation*} \frac{a\,x + b}{x\,\left(x^2 + 1\right)} = \frac{b}{x} + \frac{-b\,x + a}{x^2 + 1} \end{equation*}$

El siguiente ejemplo muestra un caso numérico de este análisis.

Contenido

1 Ejemplo
2 Ejemplo
3 Ejemplo
4 Ejemplo

Ejemplo

Calcula la integral:

$\begin{equation*} \int\!\frac{2\,x + 1}{x\,(x^2 + 1)}\,dx \end{equation*}$

De acuerdo al análisis anterior, tenemos:

$\begin{equation*} \frac{2\,x + 1}{x\,\left(x^2 + 1\right)} = \frac{1}{x} + \frac{-x + 2}{x^2 + 1} \end{equation*}$

En este caso $a = 2$ , $b = 1$ . Vamos a verificar que este resultado es correcto. Empezamos haciendo la suma de fracciones:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\,x + 1}{x\,\left(x^2 + 1\right)} &=& \frac{A}{x} + \frac{B\,x + C}{x^2 + 1}\\ &=& \frac{A\,(x^2 + 1) + (B\,x + C)\,x}{x\,(x^2 + 1)}\\ %&=& \frac{A\,x^2 + A + B\,x^2 + C\,x}{x\,(x^2 + 1)}\\ &=& \frac{(A + B)\,x^2 + C\,x + A}{x\,\left(x^2 + 1\right)} \end{eqnarray*}$

Entonces, para que se cumpla la igualdad se requiere:

$\begin{eqnarray*} A + B &=& 0\\ C &=& 2\\ A &=& 1 \end{eqnarray*}$

De aquí que: $A = 1$ , $B = -1$ y $C = 2$ . Al sustituir estos valores en las fracciones obtenemos:

$\begin{equation*} \frac{2\,x + 1}{x\,\left(x^2 + 1\right)} = \frac{1}{x} + \frac{-x + 2}{x^2 + 1} \end{equation*}$

Entonces, la integral se puede reescribir como:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{2\,x + 1}{x\,\left(x^2 + 1\right)}\,dx &=& \int\!\left(\frac{1}{x} + \frac{-x + 2}{x^2 + 1}\right)\,dx\\ &=& \int\!\frac{dx}{x} + \int\!\frac{-x + 2}{x^2 + 1}\,dx\\ &=& \ln x - \frac{1}{2}\int\!\frac{2\,x\,dx}{x^2 + 1} + \int\!\frac{2\,dx}{x^2 + 1}\\ &=& \ln x -\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + 2\,\int\!\frac{dx}{x^2 + 1} \end{eqnarray*}$

Ahora debemos calcular la integral pendiente. Pero esta integral aparece en el formulario de reglas de integración (regla (xvi)). Entonces,

$\begin{equation*} \int\!\frac{2\,x + 1}{x\,\left(x^2 + 1\right)}\,dx = \ln x -\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + 2\,\arctan(x^2 + 1) + C \end{equation*}$

Igual puede ocurrir que aparezca un factor lineal elevado al cuadrado en el denominador de la fracción
que queremos expresar como suma de otras fracciones.

Ejemplo

Calcula la integral:

$\begin{equation*} \int\!\frac{5\,x - 3}{(2\,x + 1)^2}\,dx \end{equation*}$

Empezamos expresando la fracción del integrando como suma de fracciones:

$\begin{eqnarray*} \frac{5\,x - 3}{(2\,x+1)^2} &=& \frac{A}{2\,x + 1} + \frac{B}{(2\,x + 1)^2}\\ &=& \frac{A\,(2\,x + 1) + B}{(2\,x + 1)^2}\\ &=& \frac{(2\,A)\,x + [A + B]}{(2\,x + 1)^2} \end{eqnarray*}$

De aquí que: $2\,A = 5$ , que implica: $A = 5/2$ . También, $A + B = -3$ , que implica: $B = -11/2$ . La integral puede reescribirse como:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{5\,x - 3}{(2\,x + 1)^2}\,dx &=& \int\!\left(\frac{5/2}{2\,x + 1} - \frac{11/2}{(2\,x + 1)^2}\right)\,dx \\ &=& \frac{5}{2}\,\int\!\frac{2\,dx}{2\,(2\,x + 1)} - \frac{11}{2}\,\int\!\frac{2\,dx}{2\,(2\,x + 1)^2}\\ &=& \frac{5}{4}\,\ln(2\,x + 1) + \frac{11}{4}\cdot\frac{1}{2\,x + 1} + C \end{eqnarray*}$

Obseva que para calcular la última integral utilizamos la regla (vi) donde $v = 2\,x + 1$ , y $n = -2$ .

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

$\begin{equation*} \int\!\frac{15\,x - 5}{(x^2 + 1)(2\,x^2 + 7)}\,dx \end{equation*}$

Expresamos la fracción del integrando como la suma de fracciones:

$\begin{eqnarray*} \frac{\textcolor{red}{15}\,x \textcolor{blue}{- 5}}{(x^2 + 1)(2\,x^2 + 7)} &=& \frac{A\,x + B}{x^2 + 1} + \frac{C\,x + D}{2\,x^2 + 7}\\ &=& \frac{(A\,x + B)(2\,x^2 + 7) + (C\,x + D)(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)(2\,x^2 + 7)}\\ &=& \frac{(2\,A + C)\,x^3 + (2\,B + D)\,x^2 + (\textcolor{red}{7\,A + C})\,x + [\textcolor{blue}{7\,B + D}]}{(x^2 + 1)(2\,x^2 + 7)} \end{eqnarray*}$

Para que la igualdad se cumpla se requiere que:

$\begin{eqnarray*} 2\,A + C = 0 \qquad & \Rightarrow & \qquad C = -2\,A\\ 2\,B + D = 0 \qquad & \Rightarrow & \qquad D = -2\,B\\ 7\,A + C = 15 \qquad & \Rightarrow & \qquad 5\,A = 15\Rightarrow\\ 7\,B + D = -5 \qquad & \Rightarrow & \qquad 5\,B = -5\Rightarrow B = -1 \end{eqnarray*}$

De aquí que: $A = 3$ , $B = -1$ , $C = -6$ , $D = 2$ . Entonces, la integral se puede reescribir como:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{15\,x - 5}{(x^2 + 1)(2\,x^2 + 7)}\,dx &=& \int\!\left(\frac{3\,x - 1}{x^2 + 1} + \frac{-6\,x + 2}{2\,x^2 + 7}\right)\,dx\\ &=& \int\!\frac{3\,x - 1}{x^2 + 1}\,dx + \int\!\frac{-6\,x + 2}{2\,x^2 + 7}\,dx\\ \end{eqnarray*}$

Ahora vamos a separar cada integral en dos partes:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{15\,x - 5}{(x^2 + 1)(2\,x^2 + 7)}\,dx &=& \frac{3}{2}\,\int\!\frac{2\,x\,dx}{x^2 + 1} - \int\!\frac{dx}{x^2 + 1} - \frac{6}{4}\,\int\!\frac{4x\,dx}{2\,x^2 + 7} + 2\,\int\!\frac{dx}{2\,x^2 + 7}\\ &=& \frac{3}{2}\,\ln(x^2 + 1) - \arctan(x^2 + 1) - \frac{3}{2}\,\ln(2\,x^2 + 7) + 2\,\int\!\frac{dx}{2\,x^2 + 7} \end{eqnarray*}$

Ahora vamos a definir: $v^2 = 2\,x^2$ , que implica: $v = \sqrt{2}\,x$ , y también: $\dv = \sqrt{2}\,dx$ . También definimos: $a^2 = 7$ , que significa que: $a = \sqrt{7}$ . Sustituyendo estos valores obtenemos:

$\begin{equation*} \int\!\frac{15\,x - 5}{(x^2 + 1)(2\,x^2 + 7)}\,dx = \frac{3}{2}\,\ln(x^2 + 1) - \arctan(x^2 + 1) - \frac{3}{2}\,\ln(2\,x^2 + 7) + \frac{2}{\sqrt{7}}\,\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{7}}\right) + C \end{equation*}$

Hasta aquí, todos los coeficientes que hemos calculado para reescribir la fracción del integrando como suma de otras fracciones han sido enteros. Es obvio suponer que eso no siempre se cumplirá.

Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

$\begin{equation*} \int\!\frac{3\,x + 2}{(x + 1)(x^2 + 5)}\,dx \end{equation*}$

Reescribimos el integrando como una suma de fracciones:

$\begin{eqnarray*} \frac{3\,x + 2}{(x + 1)(x^2 + 5)} &=& \frac{A}{x+1} + \frac{B\,x + C}{x^2 + 5}\\ &=& \frac{A\,(x^2 + 5) + (B\,x + C)(x + 1)}{(x + 1)(x^2 + 5)}\\ &=& \frac{(A + B)\,x^2 + (B + C)\,x + [5\,A + C]}{(x + 1)(x^2 + 5)} \end{eqnarray*}$

Ahora tenemos que resolver el siguiente S.E.L.:

$\begin{equation*} A + B = 0 \qquad B + C = 3\qquad\mbox{ y }\qquad 5\,A + C = 2 \end{equation*}$

La solución de este S.E.L. es: $A = -1/6$ , $B = 1/6$ y $C = 17/6$ . Sustituyendo estos valores en la integral tenemos:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{3\,x + 2}{(x + 1)(x^2 + 5)}\,dx &=& \int\!\left(\frac{-1/6}{x+1} + \frac{-(1/6)\,x + 17/6}{x^2 + 5}\right)\,dx\\ &=& -\frac{1}{6}\int\!\frac{dx}{x+1} + \frac{1}{(6)(2)}\int\!\frac{2x\,dx}{x^2 + 5} + \frac{17}{6}\int\!\frac{dx}{x^2 + 5}\\ &=& -\frac{1}{6}\,\ln(x + 1) + \frac{1}{12}\,\ln(x^2 + 5) + \frac{17}{6\,\sqrt{5}}\,\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) + C \end{eqnarray*}$

Como podrás ver, en general, para integrar una función de la forma:

$\begin{equation*} \int\!\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\,dx = \int\!\frac{P_n(x)}{(a_1\,x + b_1)(a_2x + b_2)\cdots(a_mx + b_m)}\,dx \end{equation*}$

donde $Q_m(x)$ es un polinomio de grado $m$ que es factorizable en $m$ factores lineales que no se repiten,
buscamos números $A_1, A_2, \cdots, A_m$ tales que:

$\begin{equation*} \frac{P_n(x)}{(a_1\,x + b_1)(a_2x + b_2)\cdots(a_mx + b_m)} = \frac{A_1}{a_1x + b_1} + \frac{A_2}{a_2x + b_2} + \cdots + \frac{A_m}{a_mx + b_m} \end{equation*}$

Para el caso en que uno o varios de los factores se repitan usamos un término para cada uno de los factores con exponentes $1, 2, \cdots, k$ , donde $k$ es el número de veces que se repite el factor que estamos considerando. Por ejemplo, para expresar:

$\begin{equation*} \frac{1}{(x+1)(x+2)^3} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B_1}{x+2} + \frac{B_2}{(x+2)^2} + \frac{B_3}{(x+2)^3} \end{equation*}$

En este caso $k = 3$ , por eso usamos 3 términos para expresar en fracciones parciales. Este mismo argumento aplica a los denominadores que se factorizan con polinomios cuadráticos. Cuando un denominador es cuadrático, en el numerador escribiremos: $A\,x + B$ . Por ejemplo:

$\begin{equation*} \frac{2\,x + 1}{(x - 7)(x^2 + 11)} = \frac{A}{x-7} + \frac{B\,x + C}{x^2 + 11} \end{equation*}$

Observa que el grado del polinomio que escribimos en el numerador siempre es menor al grado del denominador en una fracción. Para el caso de factores cuadráticos repetidos, tenemos:

$\begin{equation*} \frac{2\,x + 1}{(x - 7)(x^2 + 11)} = \frac{A}{x-7} + \frac{B_1\,x + C_1}{x^2 + 11} + \frac{B_2\,x + C_2}{(x^2 + 11)^2} \end{equation*}$