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Ecuación de la recta: Forma simétrica

Aprenderás a calcular la ecuación de la recta en su forma simétrica.

Ahora vamos a utilizar una forma más de la ecuación de la recta. La ecuación de la recta que estudiamos en la sección anterior solamente nos daba información acerca de la intersección con el eje y. Sería mucho mejor tener una forma de la ecuación que nos diera información sobre las intersecciones con los dos ejes y no solamente con uno. Entonces, en este caso deseamos escribir la ecuación de manera que nos incluya las intersecciones con los ejes.

Recuerda que con dos condiciones nosotros podemos determinar de manera única la ecuación de la recta. Nosotros conocemos dos puntos por donde pasa la recta, que corresponden a las intersecciones de la recta con los ejes: A(a,0) y B(0,b). A partir de estas condiciones vamos a encontrar la ecuación de la recta y vamos a tratar de reconocer esa información conocida. Utilizamos la ecuación de la recta en la forma dos puntos:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& \left(\displaystyle\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\right)(x - x_1)\\    y - 0   &=& \left(\displaystyle\frac{b - 0}{0 - a}\right)(x - a)\\    y       &=& \left(-\displaystyle\frac{b}{a}\right)(x - a)\\    a\,y    &=& -b\,x + ab\\    a\,y + b\,x &=& ab \end{eqnarray*}

Ahora podemos dividir ambos lados de la igualdad entre ab y así obtener:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\cancel{a}\,y}{\cancel{a}b} + \frac{\cancel{b}\,x}{a\cancel{b}} &=& \frac{\cancel{ab}}{\cancel{ab}}\\    \frac{y}{b} + \frac{x}{a} &=& 1\\    \frac{x}{a} + \frac{y}{b} &=& 1 \end{eqnarray*}

Esta es la ecuación de la recta en su forma simétrica.


Ecuación de la recta en su forma simétrica

La ecuación de la recta en su forma simétrica es:

    \begin{equation*}    \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \end{equation*}

donde a\neq0 es la intersección con el eje de las abscisas (eje x) y b\neq0 es la intersección con el eje de las ordenadas (eje y).





Ejemplo 1

Calcula la ecuación de la recta que corta al eje x en x=3 y al eje y en y=5.

Sabemos que la recta pasa por los puntos A(3,0) y B(0,5). En este caso sustituimos los valores en la ecuación:

    \begin{eqnarray*}    \frac{x}{a} + \frac{y}{b} &=& 1\\    \frac{x}{3} + \frac{y}{5} &=& 1 \end{eqnarray*}

Esta ecuación es muy sencilla de graficar. Ubica los puntos A(3,0) y B(0,5) en el plano y traza la recta que pasa por éstos.



Ejemplo 2

Calcula la ecuación de la recta en su forma simétrica que tiene pendiente 3/2 y que intersecta al eje y en (0,2). Grafica la recta a partir de su ecuación.

Ya hemos encontrado la ecuación de esta recta en su forma pendiente-ordenada al origen en la lección correspondiente. Pero ahora vamos a dar más información además de b = 2. Vamos a proceder como hicimos para encontrar la ecuación en la forma simétrica en la introducción de esta sección. Utilizamos la ecuación en su forma pendiente-ordenada al origen, y de ahí encontramos la forma simétrica:

    \begin{eqnarray*}    y &=& m\,x + b\\    y       &=& \left(\frac{3}{2}\right)x + 2\\    2\,y    &=& 3\,x + 4\\    2\,y - 3\,x &=& 4 \end{eqnarray*}

Ahora dividimos ambos lados de la igualdad entre 4 y obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\cancel{2}\,y}{\cancel{4}} - \frac{3\,x}{4} &=& \frac{\cancel{4}}{\cancel{4}}\\    \frac{y}{2} + \frac{x}{-4/3} &=& 1 \end{eqnarray*}

Observa que hemos utilizado el hecho de que:

    \begin{equation*}    \frac{1}{\left(\frac{p}{q}\right)} = \frac{q}{p} \end{equation*}

Ahora conocemos la intersección de la recta con el eje x, y ésta es: a = -4/3.

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Pudimos obtener esta misma información a partir de la ecuación en su forma pendiente-ordenada al origen. Para esto, sustituimos y=0 y despejamos x (¿por qué?)

    \begin{eqnarray*}    y = \frac{3}{2}\,x + 2\qquad & \Rightarrow & \qquad  0 = \frac{3}{2}\,x + 2\qquad  \Rightarrow \\    -2 = \frac{3}{2}\,x   \qquad & \Rightarrow & \qquad -4 = 3\,x \qquad  \Rightarrow \\                             & \Rightarrow & \qquad  x = -\frac{4}{3} \end{eqnarray*}

La gráfica de esta misma ecuación aparece en la sección anterior, en la página antes mencionada. Puedes verificar que la pendiente es m = 3/2 a partir de la gráfica, igual que a = -4/3.



Reto

Considerando la pendiente m = \Delta y / \Delta x, transforma la ecuación de la recta de su forma pendiente-ordenada al origen a su forma simétrica.


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