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Ecuación de la recta: Forma simétrica

Aprenderás a calcular la ecuación de la recta en su forma simétrica.



Ejemplo 3

Transforma la ecuación de la recta y=2\,x - 4 a su forma simétrica.

Para hacer la transformación necesitamos conocer los valores de a y b, es decir, las intersecciones de la recta con los ejes.
De la ecuación, nos damos cuenta que b=-4. Para encontrar la intersección con el eje x sustituimos y=0 en la ecuación y despejamos x:

    \begin{eqnarray*}    0 &=& 2\,x - 4\\    2\,x &=& 4\\    x &=& 2 \end{eqnarray*}

Entonces, la intersección con el eje x es a = 2. Ahora solamente sustituimos los valores en la ecuación en su forma simétrica:

    \begin{eqnarray*}    \frac{x}{a} + \frac{y}{b} &=& 1\\    \frac{x}{2} + \frac{y}{-4} &=& 1 \end{eqnarray*}

La gráfica de esta ecuación se queda como ejercicio.



Ejemplo 4

Calcula la ecuación de la recta (forma simétrica) que pasa por el punto P(3,2) y tiene pendiente m=1/3.

Resolvemos este problema en dos fases:

  • A: Encontramos la ecuación en su forma punto-pendiente.
  • B: Transformamos esta ecuación a la forma simétrica.

Sabemos que m = 1/3 y que pasa por el punto P(3,2). Sustituimos estos valores en la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 2 &=& \left(\frac{1}{3}\right)\,(x - 3)\\ \end{eqnarray*}

Multiplicamos ambos lados de la igualdad por 3:

    \begin{eqnarray*}    3\,(y - 2) &=& \cancel{3}\,\left(\frac{1}{\cancel{3}}\right)\,(x - 3)\\    3\,y - 6 &=& x - 3\\    x - 3\,y &=& -3 \end{eqnarray*}

Esta es la ecuación de la recta, pero en la forma punto-pendiente. Empezamos con la fase B. Dividimos ambos lados de la ecuación entre -3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{x}{-3} +\frac{- 3\,y}{-3} &=& \frac{-3}{-3}\\    \frac{x}{-3} + \frac{y}{1} &=& 1 \end{eqnarray*}

Esta es la ecuación en su forma simétrica. Las intersecciones con los ejes son A(-3,0) y B(0,1). Dibuja la gráfica de esa ecuación en tu cuaderno.


Observa que no importa en qué forma se encuentre la ecuación, con cualquiera vas a obtener la misma gráfica. Por eso decimos que las ecuaciones corresponden al mismo lugar geométrico.

    \begin{eqnarray*}    y &=& \left(\frac{1}{3}\right)\,x + 1\\    x - 3\,y &=& -3\\    \frac{x}{-3} + \frac{y}{1} &=& 1 \end{eqnarray*}

Para verificar que esto es verdad tendrás que transformar la primera ecuación ecuación en la segunda, la segunda en la tercera y la tercera en la primera. Se te queda de tarea verificar que es verdad.


Ejemplo 5

Calcula la ecuación de la recta (forma simétrica) que pasa por los puntos P(3,2) y Q(1,6).

Este problema, como el anterior, lo resolvemos en dos fases:

  • A: Encontramos la ecuación en su forma punto-pendiente.
  • B: Transformamos esta ecuación a la forma simétrica.

Empezamos la fase A. Primero encontramos la pendiente:

    \begin{equation*}    m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}    = \frac{6 - (-3)}{1 - (-2)}    = \frac{6 + 3}{1 + 2} =\frac{9}{3} = 3 \end{equation*}

Ahora sustituimos en la ecuación en la forma punto-pendiente:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 6   &=& 3\,(x - 1)\\    y       &=& 3\,x - 3\\    -3\,x + y &=& 3 \end{eqnarray*}

Vamos por la fase B. Dividimos ambos lados de la ecuación entre 3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{-3\,x}{3} + \frac{y}{3} &=& \frac{3}{3}\\    \frac{x}{-1} + \frac{y}{3} &=& 1 \end{eqnarray*}

Esta es la ecuación en su forma simétrica.

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Observa que como la recta corta a los ejes en los puntos: A(-1,0) y B(0,3), es muy fácil calcular la pendiente a partir de su gráfica. En este caso, \Delta x = 1 y \Delta y = 3. Si sustituimos estos valores en la fórmula para calcular la pendiente obtenemos:

    \begin{equation*}    m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3}{1} = 3 \end{equation*}


En todos los ejemplos que hemos resuelto hemos tenido suerte, porque en ninguno de los casos tuvimos a=0 ó b = 0. En cualquiera de esos casos la forma simétrica de la recta no puede escribirse, dado que no podemos dividir entre cero.

Cuando te pidan que escribas la ecuación de la recta en la forma simétrica y la recta pase por el origen, entonces, la respuesta a esa pregunta es: La ecuación de la recta no puede transformarse a la forma simétrica, porque tenemos división entre cero, dado que a=0 y b = 0. Un ejemplo de esos casos es la recta y = x. Dado que pasa por el origen, a = 0 y b = 0.

Cuando sustituimos en la ecuación de la recta en la forma simétrica obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{x}{0}+ \frac{y}{0} = 1 \end{equation*}

Pero eso es imposible, porque la división entre cero no está definida.

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