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Ecuación de la recta: Forma punto-pendiente

Aprenderás a calcular la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente.

En esta sección estudiaremos la caracterización de la recta desde el punto de vista algebraico. A partir del concepto de pendiente podremos entender mejor lo que nos dice en palabras la ecuación de una recta.

Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente

Empezaremos a estudiar la ecuación de la recta a partir de la forma más sencilla.


Ejemplo 1

Grafica la recta con ecuación: y = x.

La gráfica de esta ecuación es inmediata. En realidad no requerimos tabular distintos valores de x y calcular los valores de y. La gráfica de esta ecuación forma un ángulo de 45^{\circ} con ambos ejes:

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En la gráfica se observa claramente que a cada valor de x le corresponde un valor de y.



Ejemplo 2

Grafica la ecuación: y=2\,x.

Esta ecuación en palabras dice: “al valor que me des de x lo multiplicaré por 2, y ese valor se lo asignaré a la variable y“.

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Al comparar las dos gráficas, vemos que esta gráfica tiene distinta inclinación que la anterior, y por tanto, distinta pendiente.



Ejemplo 3

Grafica la ecuación: y = \displaystyle\frac{1}{2}\,x.

La gráfica de esta ecuación es el reflejo de: y = 2\,x respecto a la recta: y = x. \vspace{-1ex}

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En el ejemplo anterior el coeficiente de x era 2, los valores de y siempre eran el doble de los valores de x. En este caso el coeficiente de x es 1/2, esto causa que los valores de y siempre sean la mitad de los valores correspondientes de x.


Para determinar de manera única una recta necesitamos dos condiciones: (1) las coordendas de un punto y (2) la pendiente de la recta.


Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el punto P(x_1, y_1) y que tiene pendiente m es:

    \begin{equation*}    y - y_1 = m\,(x - x_1) \end{equation*}

Debido a que esta ecuación se encuentra a partir de esos datos se conoce como la ecuación en la forma punto-pendiente.





Ejemplo 4

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,2) con pendiente m = 2.

Para encontrar la ecuación de la recta sustituimos los valores de los datos conocidos:

    \begin{eqnarray*}    y - \textcolor{blue}{y_1} &=& m\,(x - \textcolor{red}{x_1})\\    y - \textcolor{blue}{2} &=& 2\,(x - \textcolor{red}{3})\\    y - 2 &=& 2\,x - 6\\    y &=& 2\,x - 4 \end{eqnarray*}

Ahora graficamos la recta.

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Observa que si x = 0, entonces, y = -4. Además, m = 2, por lo que por cada unidad que avancemos en la dirección del eje x debemos subir 2 en la dirección del eje y.



Ejemplo 5

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 5) con pendiente m = 2.

Aquí usaremos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente. Sabemos que la pendiente m = 2, y que pasa por el punto A (2, 5). Sustituimos estos datos en la ecuación:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 5   &=& 2\,(x - 2)\\    y &=& 2\,x - 4 + 5 \end{eqnarray*}

Esto resulta ser: y = 2\,x + 1. Ahora grafica la recta.



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