Ecuación de la recta: Forma punto-pendiente

En esta sección estudiaremos la caracterización de la recta desde el punto de vista algebraico. A partir del concepto de pendiente podremos entender mejor lo que nos dice en palabras la ecuación de una recta.

Contenido

1 Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente
2 Ejemplo 1
3 Ejemplo 2
4 Ejemplo 3
5 Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente
6 Ejemplo 4
7 Ejemplo 5

Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente

Empezaremos a estudiar la ecuación de la recta a partir de la forma más sencilla.

Ejemplo 1

Grafica la recta con ecuación: $y = x$ .

La gráfica de esta ecuación es inmediata. En realidad no requerimos tabular distintos valores de $x$

y calcular los valores de $y$

. La gráfica de esta ecuación forma un ángulo de $45^{\circ}$

con ambos ejes:

En la gráfica se observa claramente que a cada valor de $x$ le corresponde un valor de $y$ .

Ejemplo 2

Grafica la ecuación: $y=2\,x$ .

Esta ecuación en palabras dice: «al valor que me des de $x$ lo multiplicaré por 2, y ese valor se lo asignaré a la variable $y$ «.

Al comparar las dos gráficas, vemos que esta gráfica tiene distinta inclinación que la anterior, y por tanto, distinta pendiente.

Ejemplo 3

Grafica la ecuación: $y = \displaystyle\frac{1}{2}\,x$ .

La gráfica de esta ecuación es el reflejo de: $y = 2\,x$

respecto a la recta: $y = x$

. \vspace{-1ex}

En el ejemplo anterior el coeficiente de $x$ era 2, los valores de $y$ siempre eran el doble de los valores de $x$ . En este caso el coeficiente de $x$ es 1/2, esto causa que los valores de $y$ siempre sean la mitad de los valores correspondientes de $x$ .

Para determinar de manera única una recta necesitamos dos condiciones: (1) las coordendas de un punto y (2) la pendiente de la recta.

Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el punto $P(x_1, y_1)$ y que tiene pendiente $m$ es:

$\begin{equation*} y - y_1 = m\,(x - x_1) \end{equation*}$

Debido a que esta ecuación se encuentra a partir de esos datos se conoce como la ecuación en la forma punto-pendiente.

Ejemplo 4

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $P(3,2)$ con pendiente $m = 2$ .

Para encontrar la ecuación de la recta sustituimos los valores de los datos conocidos:

$\begin{eqnarray*} y - \textcolor{blue}{y_1} &=& m\,(x - \textcolor{red}{x_1})\\ y - \textcolor{blue}{2} &=& 2\,(x - \textcolor{red}{3})\\ y - 2 &=& 2\,x - 6\\ y &=& 2\,x - 4 \end{eqnarray*}$

Ahora graficamos la recta.

Observa que si $x = 0$ , entonces, $y = -4$ . Además, $m = 2$ , por lo que por cada unidad que avancemos en la dirección del eje $x$ debemos subir $2$ en la dirección del eje $y$ .