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Ecuación de la recta: Forma punto-pendiente

Aprenderás a calcular la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente.



Ejemplo 6

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 5) con pendiente m = 2.

Aquí usaremos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente. Sabemos, para empezar que la pendiente m = 2, y que pasa por el punto A (2, 5). Sustituimos estos datos en la ecuación:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 5   &=& 2\,(x - 2)\\    y &=& 2\,x - 4 + 5 \end{eqnarray*}

Esto resulta ser: y = 2\,x + 1. Observa que si x=0, entonces y=1. Ahora grafica la recta.



Ejemplo 7

Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto A(0, -5) con pendiente m = 3.

Vamos a utilizar la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente. Sustituimos los datos en la ecuación:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1  &=& m\,(x - x_1)\\    y - (-5) &=& 3\,(x - 0)\\    y + 5    &=& 3\,x\\    y &=& 3\,x - 5 \end{eqnarray*}

Observa que en este caso, si x=0, y = -5. Se te queda como ejercicio graficar la recta.



Ejemplo 8

Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Este problema es distinto de los ejemplos que hemos estudiado. Para resolverlo, primero intentaremos reducirlo a un problema parecido a alguno de los que ya hemos resuelto.

Para este fin, primero debemos conocer la pendiente. Porque dado un punto por el cual pasa una recta (conocemos dos, tendremos que elegir un punto de entre los dos) y la pendiente de la misma, podremos utilizar la ecuación en su forma punto-pendiente y finalmente obtendremos su ecuación. Primero, utilizamos la fórmula para calcular la pendiente de una recta conocidos dos puntos por los que pasa. Conocemos dos puntos por los cuales pasa la recta: A (1, 2) y B (3, 4). Con estos datos calculamos su pendiente:

    \begin{eqnarray*}    m &=& \displaystyle\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\    &=& \displaystyle\frac{4 - 2}{3 - 1}\\    &=& \displaystyle\frac{2}{2} = 1 \end{eqnarray*}

Ahora que conocemos la pendiente, podemos utilizar la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente, ya que conocemos ambos datos. Nota que podemos usar cualquiera de los puntos que conocemos, puesto que el requisito impuesto es que la recta pase por el punto dado y en este caso, pasa por ambos puntos. Sustituyendo obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 2   &=& 1\,(x - 1)\\    y       &=&  x - 1 + 2\\         &=& x + 1 \end{eqnarray*}

Con lo que la ecuación buscada es: y = x + 1.

Por cierto, ¿cuál es la ordenada al origen de esta recta? Es decir, ¿qué valor tiene y cuando x = 0?


Es claro que podemos sustituir en la ecuación el valor de m a partir de las coordenadas de los puntos por los cuales pasa la recta. Así obtenemos la ecuación en su forma dos puntos.


Ecuación de la recta en su forma dos puntos

La ecuación de la recta que pasa por los dos puntos P(x_1, y_1) y Q(x_2, y_2) es:

    \begin{equation*}    y - y_1 = \left(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\right)(x - x_1) \end{equation*}


Observa también que la ecuación de la recta en su forma punto pendiente sustituimos el valor de m en función de las coordenadas de los dos puntos por donde pasa:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& \hspace{2em}\textcolor{red}{m}\hspace{2em}\,(x - x_1)\\    y - y_1 &=& \left(\textcolor{red}{\displaystyle\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}\right)(x - x_1) \end{eqnarray*}



Ahora, consideremos solamente la definición de pendiente:

    \begin{equation*}    m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \end{equation*}

Si suponemos que no concemos más que un punto y dejamos las coordenadas del punto Q(x_2, y_2) como incógnitas, obtenemos la ecuación de la recta en su forma punto pendiente, despejando y - y_1:

    \begin{eqnarray*}    \frac{y - y_1}{x - x_1} &=& m\\    y - y_1 &=& m\,(x - x_1) \end{eqnarray*}

Así que no tendrás que memorizar ninguna de estas fórmulas. A partir de la definición de pendiente puedes fácilmente deducir las otras dos. Inclusive, la fórmula de pendiente puedes recordarla a partir de su interpretación:

    \begin{equation*}    m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{\D y}{\D x}=\frac{\mbox{Incremento en }y}{\mbox{Incremento en }x} \end{equation*}

Así que es mejor entender la información que nos da la pendiente y así podremos deducir su fórmula y a partir de ésta las demás ecuaciones.

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