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Ecuación de la recta: Forma pendiente-ordenada al origen

Aprenderás a calcular la ecuación de la recta en la forma pendiente-ordenada al origen.

Si una recta corta el eje de las ordenadas (eje y) en el punto B(0,b), entonces decimos que la ordenada al origen de la recta es b. Conociendo este punto es muy sencillo encontrar la ecuación de la recta, que es lo que vamos a estudiar en esta lección.


Ejemplo 1

Calcula la ecuación de la recta con pendiente m = 3 que corta al eje y en el punto B(0,5).

Sabemos que en el eje y los valores de x son iguales a cero, independientemente de la posición. A la izquierda del eje y los valores de x son negativos y que a la derecha son positivos.

Precisamente sobre el eje x no son ni negativos ni positivos: es la frontera entre los positivos y negativos, esto es, la coordenada de x vale cero para cada punto. Entonces, la recta pasa por el punto B(0, 5), y tiene pendiente m = 3. De nuevo sustituimos los valores conocidos en la ecuación de la recta en su forma punto – pendiente.

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 5 &=& 3\,(x - 0)\\    y &=& 3\,x + 5 \end{eqnarray*}

Con lo que la ecuación de la recta es: y = 3\,x + 5.



Ejemplo 2

Calcula la ecuación de la recta con pendiente m = -3 que corta al eje y en B(0,7).

De nuevo, en este caso, por intersectar al eje y en y = 2, la recta pasa por el punto B(0,7) y tiene pendiente m = - 3.
Utilizamos la ecuación en su forma punto – pendiente.

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 7 &=& -3\,(x - 0)\\    y &=& -3\,x + 7 \end{eqnarray*}

Con lo que la ecuación buscada es: y = -3\,x + 7.


A partir de los dos ejemplos anteriores podemos darnos cuenta que en la ecuación y = m\,x + b, m es la pendiente de la recta y b es la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje y.

Debido a esto a esta forma también se le conoce con el nombre de ecuación en su forma pendiente-ordendada al origen.


Ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen

La ecuación de la recta que tiene pendiente m y corta al eje y en el punto (0,b) es:

    \begin{equation*}    y = m\,x + b \end{equation*}


Observa que en la ecuación y=m\,x + b, cuando x=0 tenemos que y=b. Esto nos dice que la recta pasa por el punto B(0,b).

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A partir de esta interpretación geométrica del valor de b de la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen, fácilmente podemos graficar la recta: y=m\,x + b.

Para este fin, empezamos dibujando un punto en (0,b). A partir de ese punto y con la interpretación geométrica de la pendiente:

    \begin{equation*}  m = \frac{\D y}{\D x} = \frac{\mbox{Incremento en }y}{\mbox{Incremento en }x} \end{equation*}

podemos avanzar m unidades verticalmente por cada unidad que avancemos hacia la derecha. Si m es positivo la recta subirá, si m es negativo la recta bajará y si m=0 tendremos una recta horizontal.

Otra forma de explicar el mismo procedimiento es: Avanzamos \Delta y unidades en el sentido del eje y y \Delta x unidades en el sentido del eje x, así graficamos varios puntos y podremos fácilmente graficar la recta a partir de su ecuación.




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