Ecuación de la recta: Forma pendiente-ordenada al origen

Si una recta corta el eje de las ordenadas (eje $y$ ) en el punto $B(0,b)$ , entonces decimos que la ordenada al origen de la recta es $b$ . Conociendo este punto es muy sencillo encontrar la ecuación de la recta, que es lo que vamos a estudiar en esta lección.

Ejemplo 1

Calcula la ecuación de la recta con pendiente $m = 3$ que corta al eje $y$ en el punto $B(0,5)$ .

Sabemos que en el eje $y$

los valores de $x$

son iguales a cero, independientemente de la posición. A la izquierda del eje $y$

los valores de $x$

son negativos y que a la derecha son positivos.

Precisamente sobre el eje $x$ no son ni negativos ni positivos: es la frontera entre los positivos y negativos, esto es, la coordenada de $x$ vale cero para cada punto. Entonces, la recta pasa por el punto $B(0, 5)$ , y tiene pendiente $m = 3$ . De nuevo sustituimos los valores conocidos en la ecuación de la recta en su forma punto – pendiente.

$\begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 5 &=& 3\,(x - 0)\\ y &=& 3\,x + 5 \end{eqnarray*}$

Con lo que la ecuación de la recta es: $y = 3\,x + 5$ .

Ejemplo 2

Calcula la ecuación de la recta con pendiente $m = -3$ que corta al eje $y$ en $B(0,7)$ .

De nuevo, en este caso, por intersectar al eje $y$

en $y = 2$

, la recta pasa por el punto $B(0,7)$

y tiene pendiente $m = - 3$

.
Utilizamos la ecuación en su forma punto – pendiente.

$\begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 7 &=& -3\,(x - 0)\\ y &=& -3\,x + 7 \end{eqnarray*}$

Con lo que la ecuación buscada es: $y = -3\,x + 7$ .

A partir de los dos ejemplos anteriores podemos darnos cuenta que en la ecuación $y = m\,x + b$ , $m$ es la pendiente de la recta y $b$ es la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje $y$ .

Debido a esto a esta forma también se le conoce con el nombre de ecuación en su forma pendiente-ordendada al origen.

Ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen

La ecuación de la recta que tiene pendiente $m$ y corta al eje $y$ en el punto $(0,b)$ es:

$\begin{equation*} y = m\,x + b \end{equation*}$

Observa que en la ecuación $y=m\,x + b$ , cuando $x=0$ tenemos que $y=b$ . Esto nos dice que la recta pasa por el punto $B(0,b)$ .

A partir de esta interpretación geométrica del valor de $b$ de la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen, fácilmente podemos graficar la recta: $y=m\,x + b$ .

Para este fin, empezamos dibujando un punto en $(0,b)$ . A partir de ese punto y con la interpretación geométrica de la pendiente:

$\begin{equation*} m = \frac{\D y}{\D x} = \frac{\mbox{Incremento en }y}{\mbox{Incremento en }x} \end{equation*}$

podemos avanzar $m$ unidades verticalmente por cada unidad que avancemos hacia la derecha. Si $m$ es positivo la recta subirá, si $m$ es negativo la recta bajará y si $m=0$ tendremos una recta horizontal.

Otra forma de explicar el mismo procedimiento es: Avanzamos $\Delta y$ unidades en el sentido del eje $y$ y $\Delta x$ unidades en el sentido del eje $x$ , así graficamos varios puntos y podremos fácilmente graficar la recta a partir de su ecuación.