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Ecuación de la recta: Forma pendiente-ordenada al origen

Aprenderás a calcular la ecuación de la recta en la forma pendiente-ordenada al origen.


Ejemplo 3

Calcula la ecuación de la recta que tiene pendiente 3/2 y que intersecta al eje y en B(0,2). Grafica la recta a partir de su ecuación.

Empezamos notando que en este caso la pendiente no es un número entero, sino una fracción. Para empezar, ya conocemos el valor de b, en este caso b=2, porque la recta corta al eje de las ordenadas en (0,2). Para encontrar la ecuación de la recta sustituimos los valores en la ecuación:

    \begin{eqnarray*} y &=& m\,x + b\\ y &=& \displaystyle\frac{3}{2}\,x + 2 \end{eqnarray*}

Ahora vamos a interpretar la pendiente para graficar la recta de una manera sencilla. Sabemos que: m = \D y / \D x = 3 / 2, esto indica que \D y = 3 y que \D x = 2. Y eso sugiere que por cada 2 unidades que nos movamos hacia la derecha (sentido positivo del eje x) debemos subir 3 unidades (sentido positivo del eje y). Así podemos ubicar varios puntos del plano por donde pasa la recta y a partir de ellos graficarla:

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Ejemplo 4

Luis fue a comprar refrescos. Cada refresco costaba $5.00 pesos y además, había quedado a deber $12.00 pesos al tendero. Encuentra la ecuación de la recta que modela esta situación.

En este caso, si Luis compra cero refrescos, entonces debe pagar al tendero lo que había quedado a deber, esto es, $12.00 pesos. Este valor representa la ordenada al origen, es decir, b = 12. Por cada refresco que Luis compre, el importe aumenta en $5.00
Este valor representa la pendiente de la recta. Entonces, la ecuación de la recta es:

    \begin{equation*} y = 5\,x + 12 \end{equation*}

Si denotamos por I el importe que Luis debe pagar al tendero y n el número de refrescos que comprará, la ecuación se puede escribir como:

    \begin{equation*} I = 5\,n + 12 \end{equation*}

Por ejemplo, si compra 6 refrescos, deberá pagar:

    \begin{equation*} I = 5\,(6) + 12 = 30 + 12 = 42\mbox{ pesos.} \end{equation*}

Ahora grafica la recta en tu cuaderno.

A partir del ejemplo anterior podemos dar una nueva interpretación (física) de la pendiente. En este caso, \D x representa la cantidad de refrescos que Luis va a comprar y \D y el importe cuando compre \D x refrescos. Entonces, m = \D y / \D x representa el precio de un refresco. Nosotros podemos sustituir valores para \D y y \D x que satisfagan las condiciones del ejemplo anterior, pero siempre va a ocurrir que al simplificar la fracción con la que calculamos el valor de m se simplifique a 5, que es el precio de un refresco. Verifica con algunos ejemplos numéricos que esto es verdad.

Ejemplo 5

Un inversionista desea comprar una parte de un terreno que tenga un metro más del doble de largo que de ancho. Si a es el ancho, ¿cuál es la ecuación que modela esta situación?

Si el ancho es a, el largo, será un metro mayor al doble del ancho. El doble del ancho lo obtenemos multiplicando el ancho por dos: 2\,a Sabemos que el largo es un metro mayor a esa cantidad: L = 2\,a + 1 Esa es la ecuación que modela la situación:

    \begin{equation*} L = 2\,a + 1 \end{equation*}

Si x representa el ancho del terreno y la variable y representara el largo, la ecuación sería:

    \begin{equation*} y = 2\,x + 1 \end{equation*}

La cual es muy fácil de graficar. Explica con palabras cómo gráficar esta ecuación.

En este último ejemplo la pendiente representa la condición \dice{el doble de largo que de ancho}. La ordenada al origen corresponde a la condición de que el largo debe ser \textsl{un metro} mayor al doble del ancho. Considera valores de a y calcula los valores del largo del terreno. Observa que primero multiplicas por dos para obtener el doble. La pendiente tiene esa función en la ecuación.

Por otra parte, cuando sumas uno (la ordenada al origen) al doble del ancho, terminas con la condición del problema: \dice{el largo sea un metro mayor al doble del ancho}.

Reto

Transforma la ecuación de la recta de su forma punto-pendiente a la forma pendiente-ordenada al origen.

Ejemplo 6

Se sabe que 0^{\circ} Centígrados equivalen a 32^{\circ} Farenheit. Por otra parte, 100^{\circ} Centígrados equivalen a 212^{\circ} Farenheit. Encuentra la ecuación que sirve de conversión entre una escala de temperatura y otra.

Podemos colocar sobre el eje x los grados Centígrados y sobre el eje y los grados Farenheit. En ese caso tenemos los dos puntos: A(0,32) y B(100,212). La primera coordenada indica la temperatura en grados Centígrados. La segunda coordenada indica la temperatura en grados Farenheit.

Ahora debemos calcular la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos. Empezamos calculando la pendiente de la recta:

    \begin{equation*} m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{212 - 32}{100 - 0} = \frac{180}{100} = \frac{9}{5} \end{equation*}

Ahora que conocemos la pendiente de la recta, podemos sustituir este valor con uno de los puntos en la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente y encontrar la ecuación:

    \begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 32 &=& \left(\frac{9}{5}\right)(x - 0) \\ y &=& \frac{9}{5}\,x + 32 \end{eqnarray*}

Como en el eje x están los grados Centígrados, podemos cambiar el nombre de la literal x por C para poder relacionar la variable con la escala centígrada. A su vez, en el eje y están los grados Farenheit, por eso es mejor escribir F en lugar de y:

    \begin{equation*} F = \frac{9}{5}\,C + 32 \end{equation*}

Esta ecuación nos ayuda a calcular el valor de F (grados Farenheit) equivalente(s) a C grados Centígrados. Observa que si C=0, se sigue que F=32, concordando con los datos iniciales. También, si C=100, entonces, F=900 / 5 + 32 = 180 + 32 = 212. Si deseas calcular C a partir de F basta despejar F en términos de C:

    \begin{eqnarray*} F &=& \frac{9}{5}\,C + 32 \\ F - 32 &=& \frac{9}{5}\,C\\ \frac{5\,(F - 32)}{9} &=& C \end{eqnarray*}

Ahora, si F=32, tenemos que C=0. También puedes comprobar que si F=212 se cumple que C=100.

Como puedes ver, podemos aplicar las ecuaciones lineales en muchas situaciones distintas. Es importante observar que las literales x,y en las aplicaciones tienen un significado físico. Trata de recordar cómo definiste cada variable para no confundir sus significados cuando debas realizar cálculos. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, si no cambiamos las literales por algunas que nos sugirieran qué significan cada una, podemos confundir sus significados y realizar cálculos incorrectos.

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