Ecuación de la recta: Forma normal

Todavía nos falta una última forma de la ecuación de la recta que nos ayudará a estudiar el último tema de esta unidad.

Contenido

1 Ecuación de la recta en su forma normal
2 Ejemplo 1
3 Ejemplo 2
4 Ejemplo 3
5 Ejemplo 4
6 Ejemplo 5

Ecuación de la recta en su forma normal

La ecuación de la recta en su forma normal es:

$\begin{equation*} \frac{A\,x + B\,y + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}\,x + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}\,y + \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = 0 \end{equation*}$

donde $A,B,C\in\mathbb{R}$ y los coeficientes $A,B$ no pueden ser cero simultáneamente.

Para obtener esta ecuación basta dividir ambos lados de la ecuación de la recta en su forma general entre $\sqrt{A^2 + B^2}$ .

Ejemplo 1

Calcula la ecuación en forma normal de la recta: $12\,x - 5y + 1 = 0$ .

En este ejemplo necesitamos convertir la ecuación de la recta en forma general a la forma normal. Para eso basta calcular el valor del denominador: $\sqrt{A^2 + B^2}$

y dividir ambos lados de la ecuación (en su forma general) por ese valor.

$\begin{equation*} \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \end{equation*}$

Entonces, la ecuación simétrica la obtenemos dividiendo entre 13:

$\begin{equation*} \frac{12}{13}\,x - \frac{5}{13}\,y + \frac{1}{13} = 0 \end{equation*}$

En este primer ejemplo obtuvimos un valor entero para $\sqrt{A^2 + B^2}$ , pero eso no siempre ocurrirá. La mayoría de las veces encontraremos raíces de números que no se podrán simplificar. En esos casos es mejor dejar indicada la raíz y no escribir decimales. Es más fácil de entender la ecuación mientras menos decimales contenga y es más fácil de escribir la ecuación cada vez. El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos.

Ejemplo 2

Calcula la ecuación (forma normal) de la recta que tiene pendiente $m=-4$ y que pasa por el punto $P(1,3)$ .

Empezamos calculando la ecuación en forma punto-pendiente, así obtenemos su forma general y finalmente calculamos la ecuación en la forma normal.

Fase A: Ecuación en forma punto-pendiente

$\begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 3 &=& -4\,(x - 1)\\ y - 3 &=& -4\,x + 4\\ 4\,x + y + 1 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Fase B: Convertimos a la forma normal

Calculamos el valor de $\sqrt{A^2 + B^2}$ :

$\begin{equation*} \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \end{equation*}$

Dividimos ambos lados de la ecuación en forma general entre $\sqrt{17}$ y así obtenemos la ecuación en la forma normal:

$\begin{equation*} \frac{4}{\sqrt{17}}\,x + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{17}}\,y + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{17}} = 0 \end{equation*}$

Esta es la ecuación que deseabamos calcular.

Ejemplo 3

Calcula la ecuación (forma normal) de la recta que pasa por los puntos $P(5,1)$ y $Q(1,5)$ .

Primero debemos calcular la pendiente de la recta, después utilizar la forma punto-pendiente y finalmente convertir a la forma normal.

Fase A: Calculamos la pendiente de la recta

$\begin{equation*} m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 1}{1 - 5} =\frac{4}{-4} = -1 \end{equation*}$

Fase B: Sustituimos en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente

$\begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 1 &=& (-1)\,(x - 5)\\ y - 1 &=& - x + 5\\ x + y - 6 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Fase C: Convertimos a la forma normal

Primero calculamos el valor del denominador:

$\begin{equation*} \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \end{equation*}$

Finalmente dividimos la ecuación de la recta en su forma general entre $\sqrt{2}$ para convertirla a la forma normal:

$\begin{equation*} \frac{1}{\sqrt{2}}\,x + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\,y - \displaystyle\frac{6}{\sqrt{2}} = 0 \end{equation*}$

Y terminamos.

Ejemplo 4

Calcula la ecuación de la recta que es paralela a la recta $3\,x - y + 12 = 0$ y que pasa por el punto $P(-1,1)$ .

Dado que las rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. Para conocer la pendiente de la recta cuya ecuación conocemos, despejamos $y$

$\begin{equation*} y = 3\,x + 12 \end{equation*}$

Entonces, $m_1 = 3$ y $b = 12$ . Sustituimos $m=3$ y $P(-1,1)$ en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente:

$\begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 1 &=& 3\,(x - (-1))\\ y - 1 &=& 3\,x + 3\\ -3\,x + y -4 &=& 0\\ 3\,x - y + 4 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Vamos a convertirla a la forma normal. Calculamos el valor del denominador:

$\begin{equation*} \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} \end{equation*}$

Finalmente, dividimos la ecuación en la forma general entre $\sqrt{10}$ para obtener la forma normal:

$\begin{equation*} \frac{3}{\sqrt{10}}\,x - \frac{1}{\sqrt{10}}\,y + \frac{4}{\sqrt{10}} = 0 \end{equation*}$

Esta es la ecuación de la recta en su forma normal.

Ejemplo 5

Calcula la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta $x + 2\,y - 2 = 0$ y que pasa por el punto $P(2,-1)$ .

Sabemos que las rectas son perpendiculares, por eso podemos usar la condición de perpendicularidad para encontrar la pendiente de la recta cuya ecuación queremos encontrar.
Primero calculamos la pendiente de la recta que conocemos, para eso despejamos $y$

$\begin{eqnarray*} x + 2\,y - 2 &=& 0\\ x - 2 &=& -2\,y\\ -\frac{1}{2}\,x + 1 &=& y \end{eqnarray*}$

Entonces, $m_1 = -1/2$ y $b = 1$ . Ahora encontramos la pendiente de la recta perpendicular a ésta con la condición de perpendicularidad:

$\begin{equation*} m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)} = 2 \end{equation*}$

El siguiente paso consiste en sustituir los datos conocidos en la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente:

$\begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - (-1) &=& 2\,(x - 2)\\ y + 1 &=& 2\,x - 4\\ -2\,x + y + 5 &=& 0\\ 2\,x - y - 5 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Y finalmente, la vamos a convertir a la forma normal. Calculamos el valor del denominador:

$\begin{equation*} \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} \end{equation*}$

Ahora dividimos ambos lados de la ecuación en forma general entre $\sqrt{5}$ y terminamos:

$\begin{equation*} \frac{2}{\sqrt{5}}\,x - \frac{1}{\sqrt{5}}\,y - \frac{5}{\sqrt{5}}\, = 0 \end{equation*}$

Esta forma de la recta nos ayuda a calcular la distancia de un punto $P(x_1, y_1)$ hasta una recta cuando concemos su ecuación: $A\,x + B\,y + C = 0$ , que es lo que estudiaremos en el siguiente y último tema de esta unidad.