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Ecuación de la recta: Forma General

Aprenderás a calcular la ecuación de la recta en su forma general.
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La forma general de la ecuación de la recta es la que considera todos los casos de las rectas: horizontales, verticales e inclinadas. En otros casos no siempre es posible escribir la ecuación de una recta dada. Por ejemplo, en el caso de la ecuación de la recta en la forma simétrica, en caso de que cualquiera de las intersecciones fuera, bien a = 0, bien b = 0, la ecuación simétrica no puede escribirse.

En el caso de la ecuación vertical, no puede escribirse ni en forma punto-pendiente, ni en forma pendiente-ordenada al origen. Esto se debe a que la recta vertical no tiene definida la pendiente. (¿Por qué?) Así que surge la necesidad de estudiar una clase más de forma de la recta.

Considera la ecuación de la recta en su forma simétrica:

    \begin{equation*} \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \end{equation*}

Si multiplicamos ambos lados por ab obtenemos:

    \begin{eqnarray*} ab\cdot\left(\frac{x}{a}\right) + ab\cdot\left(\frac{y}{b}\right) &=& ab\\ b\,x + a\,y &=& ab\\ b\,x + a\,y - ab &=& 0\\ \end{eqnarray*}

Ahora que hemos transformado la ecuación para evitarnos las fracciones, podemos cambiar los nombres de los coeficientes y escribir:

    \begin{equation*} A\,x + B\,y + C = 0 \end{equation*}

Esta es la ecuación de la recta en su forma general.

Ecuación de la recta en su forma general

La ecuación de la recta en su forma general es:

    \begin{equation*} A\,x + B\,y + C = 0 \end{equation*}

donde A,B,C\in\mathbb{R}, y los coeficientes A,B no pueden ser cero simultánemente.

Podemos encontrar la ecuación de cualquier recta del plano en su forma general. De ahí viene el adjetivo general.



Ejemplo 1

Calcula la ecuación (forma general) de la recta que pasa por los puntos A(7, 1) y B(3, 8).

Primero encontraremos la pendiente de la recta. Después utilizaremos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente.
Pendiente de la recta:

    \begin{equation*} m = \displaystyle\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\ = \displaystyle\frac{8 - 1}{3 - 7} = \displaystyle\frac{7}{-4} \end{equation*}

Ahora sustituimos los datos conocidos en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente:

    \begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 7 &=& -\frac{7}{4}\,(x - 1)\\ 4\,(y - 7) &=& -7\,(x - 1)\\ 4\,y - 28 &=& -7\,x + 7\\ 7\,x + 4\,y - 28 - 7 &=& 0\\ 7\,x + 4\,y - 35 &=& 0\\ \end{eqnarray*}

En este caso no nos conviene despejar y, porque eso implicaría tener coeficientes fraccionarios.

Observa que en este caso hemos dejado la ecuación de la recta en la forma A\,x + B\,y + C = 0. En este caso particular, A=7, B=4 y C=-35.

Reto

Transforma la ecuación de la recta de su forma punto-pendiente a la forma general usando m = \Delta y / \Delta x.

Ejemplo 2

Calcula la ecuación en forma general de la recta que tiene pendiente m=3 y pasa por el punto P(-1,3).

Empezamos sustituyendo los valores en la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente:

    \begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 3 &=& 3\,(x - (-1))\\ y - 3 &=& 3\,x + 3\\ -3\,x + y - 6 &=& 0\\ 3\,x - y + 6 &=& 0 \end{eqnarray*}

Se sugiere que el coeficiente de x sea positivo. Por eso se multiplicó la ecuación por -1 al final.

Reto

Transforma la ecuación de la recta en su forma general a la forma punto-ordenada al origen.

Ejemplo 3

Transforma la ecuación de la recta en forma simétrica:

    \begin{equation*} \frac{x}{3} + \frac{y}{7} = 1 \end{equation*}

a la forma general.

Es muy sencillo hacer la conversión: multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores y después expresamos la ecuación en la forma general:

    \begin{eqnarray*} 21\,\left(\displaystyle\frac{x}{3}\right) + 21\,\left(\displaystyle\frac{y}{7}\right) &=& 21 \\ 7\,x + 3\,y - 21 &=& 0 \end{eqnarray*}

Grafica la ecuación. Para eso es mejor basarse en la forma simétrica que en la general.

Reto

Transforma la ecuación en su forma general a la forma simétrica.

Ejemplo 4

Calcula la ecuación en su forma general de la recta que pasa por el punto P(5,4) y es paralela a la recta: 3\,x + 2\,y - 5 = 0.

Ya conocemos un punto por donde pasa la recta. Nos falta conocer la pendiente. Como ambas rectas son paralelas, la pendiente de la recta que buscamos es igual a la pendiente de la recta cuya ecuación conocemos. Para calcular la pendiente de las rectas, vamos a expresar la ecuación %3\,x + 2\,y - 5 = 0 en la forma pendiente-ordenada al origen:

    \begin{eqnarray*} 3\,x + 2\,y - 5 &=& 0\\ 2\,y &=& -3\,x + 5 \\ y &=& -\displaystyle\frac{3}{2}\,x + \frac{5}{2} \end{eqnarray*}

Ahora sabemos que la pendiente de la recta es: m = -3/2. Sustituimos los datos en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente:

    \begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 4 &=& -\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)\,(x - 5)\\ 2\,(y - 4) &=& -3\,x + 15\\ 2\,y - 8 &=& -3\,x + 15\\ 3\,x + 2\,y - 23 &=& 0 \end{eqnarray*}

Ahora se queda como ejercicio que transformes esta ecuación a la forma simétrica y la grafiques.

En este ejemplo hemos utilizado la condición de paralelismo entre dos rectas:

    \begin{equation*} \mbox{Si }\ell_1\parallel\ell_2\qquad\mbox{entonces,}\qquad m_1 = m_2 \end{equation*}

Al tratar de resolver un problema debes reconocer qué parte de la teoría te ayuda a resolverlo.

El siguiente ejemplo requerirá que recuerdes la condición de perpendicularidad entre dos rectas.

Ejemplo 5

Calcula la ecuación (forma general) de la recta que es perpendicular a la recta 5\,x - 3\,y + 21 = 0 y que pasa por el punto P(7,-1).

Sabemos que las rectas son perpendiculares, entonces sus pendientes son recíproco de signo cambiado una de la otra. Primero encontramos la pendiente de la recta cuya ecuación conocemos. Para eso basta despejar y, así obtenemos la ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen:

    \begin{eqnarray*} 5\,x - 3\,y + 21 &=& 0 \\ 5\,x + 21 &=& 3\,y \\ \frac{5}{3}\,x + 7 &=& y \end{eqnarray*}

Entonces, la pendiente de esta recta es m = 5/3. Encontramos la pendiente de la recta cuya ecuación deseamos calcular con la condición de perpendicularidad entre dos rectas:

    \begin{equation*} m_2 = -\displaystyle\frac{1}{m_1} \qquad\Rightarrow\qquad m_2 = -\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{5}{3}\right)} = -\displaystyle\frac{3}{5} \end{equation*}

Ahora que conocemos su pendiente un punto por el cual pasa, podemos calcular su ecuación:

    \begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 7 &=& -\displaystyle\frac{3}{5}\,(x - (-1))\\ 5\,(y - 7) &=& -3\,(x + 1)\\ 5\,y - 35 &=& -3\,x - 3 \\ 3\,x + 5\,y -32 &=& 0 \end{eqnarray*}

Esa es la ecuación que necesitabamos calcular.

Supón que deseas encontrar la pendiente de una recta perpendicular al eje x. ¿Qué información arroja la condición de perpendicularidad entre dos rectas? Observa que la pendiente del eje x es cero. (¿Por qué?) Cuando aplicamos la condición de perpendicularidad tenemos una división entre cero. Esto nos indica que la pendiente de una recta vertical no está definida. Debes tener cuidado y observar esos casos antes de empezar con los cálculos.

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