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Factorización

Aprenderas los casos más comúnes de factorización.

Prestamos fáciles y rápidos


Ya sabes que no todos los trinomios cuadrados son perfectos. Cuando tenemos un trinomio cuadrado es una buena idea empezar la factorización verificando si se trata o no de uno perfecto. Si no es un trinomio cuadrado perfecto, tenemos que usar otro truco.


Ejemplo 7

Factoriza:

    \begin{equation*} x^2 + 12\,x + 35 \end{equation*}

En este caso, cuando saquemos la mitad de 12 y lo elevemos al cuadrado, no obtendremos 35. Esto nos indica que se trata de un trinomio cuadrado no perfecto. Ahora tenemos un producto de binomios con término común.
Así que buscaremos dos números que sumados den 12 y multiplicados sean igual a 35.

Para facilitarte el trabajo, empieza siempre buscando dos números que multiplicados sean el término independiente, en este caso, 35, porque hay menos soluciones que buscar dos números sumados dén 12 (De hecho, la ecuación: m + n = 12 tiene un número infinito de soluciones). Esos números son 5 y 7. Con lo que obtenemos:

    \begin{equation*}    x^2 + 12\,x + 35 = (x + 5)(x + 7) \end{equation*}

lo cual podemos comprobar desarrollando el producto conjugado que quedó indicado.





Ejemplo 8

Factoriza:

    \begin{equation*} x^2 - 4\,x - 21 \end{equation*}

Es evidente que no se trata de un cuadrado perfecto por dos razones:

  1. El término independiente es negativo, y si fuera un cuadrado perfecto debería ser positivo.
  2. El cuadrado de -2 no es igual a -21.

Entonces, debemos encontrar dos números que sumados den -4 y multiplicados den -21. Observa que el coeficiente del término lineal es igual a -4.

Ya sabemos que este coeficiente es igual a la suma de los números que buscamos, por lo que se deduce que el mayor de los dos números es negativo. Además, el término independiente es negativo, lo que nos indica que los números que buscamos tienen signos contrarios, porque menos por menos es más.

Empezamos buscando números que multiplicados den 21. Solamente tenemos dos pares de candidatos: (1,21) y (3,7). Sabemos que el mayor de los dos será negativo y el otro positivo. La solución es 3, -7, porque

    \begin{eqnarray*}    3 + (-7) &=& -4\qquad\mbox{ y}\\    (3)(-7) &=& -21 \end{eqnarray*}

Entonces, la factorización que buscábamos es:

    \begin{equation*}    x^2 - 4\,x - 21 = (x + 3)(x - 7) \end{equation*}



Ejemplo 9

Factoriza:

    \begin{equation*} 4\,x^2 + 10\,x + 4 \end{equation*}

Observa que el coeficiente del término cuadrático es diferente de uno. En este caso debemos primero calcular la raíz cuadrada del término cuadrático:

    \begin{equation*}    \sqrt{4\,x^2} = 2\,x \end{equation*}

Ahora vamos a escribir la factorización que deseamos encontrar:

    \begin{equation*}    (2\,x + m)(2\,x + n) \end{equation*}

Si multiplicamos obtenemos:

    \begin{equation*}    (2\,x + m)(2\,x + n) = 4\,x^2 + 2\,x\,(m + n) + m\cdot n \end{equation*}

Entonces necesitamos encontrar dos números m,n que satisfagan las siguientes condiciones:

    \begin{eqnarray*}    2\,(m + n) &=& 10, \mbox{ y}\\    m\cdot n &=& 4 \end{eqnarray*}

La primera condición implica que m + n  = 5. La segunda condición nos limita a usar solamente alguno de los siguienes casos: (2,2) ó (1,4). Porque 2\times2 = 4 y 1\times4=4.

La solución que satisface las condiciones del problema es: (1,4), porque 1 + 4 = 5. Entonces, la factorización que buscamos es:

    \begin{equation*}    4\,x^2 + 10\,x + 4 = (2\,x + 1)(2\,x + 4) \end{equation*}


Ahora estudiaremos otro caso de factorización: la diferencia de cuadrados, que al factorizarse se convierte en un producto conjugado.


Ejemplo 10

Factoriza:

    \begin{equation*}    x^2 - 81 \end{equation*}

Este caso de la factorización es el más sencillo, porque la fórmula nos dice:

    \begin{equation*}    x^2 - a^2 = (x + a)(x - a) \end{equation*}

Observa que basta encontrar la raíz cuadrada de cada uno de los términos de la diferencia de cuadrados y escribir, a partir de estas raíces, el producto conjugado. En nuestro ejemplo, tenemos:

    \begin{eqnarray*}    \sqrt{x^2} &=& x\\    \sqrt{81} &=& 9 \end{eqnarray*}

Entonces, la factorización queda:

    \begin{equation*}    x^2 - 81 = (x + 9)(x - 9) \end{equation*}




Una forma más de justificar el mismo resultado puede hacerse con el caso (iii) de factorización.

Para esto buscamos dos números que sumados den cero (el coeficiente del término lineal) y multiplicados den -81.

Es obvio que para la suma sea cero, los números deben ser iguales y con signo opuesto. Para que su producto sea -81, necesitamos que los números sean \sqrt{81} y -\sqrt{81}, que son precisamente 9 y -9.

Como puedes ver, si suponemos que se trata de un producto de binomios con término común, de cualquier forma debes llegar al resultado correcto.


Ejemplo 11

Factoriza:

    \begin{equation*} 16\,x^4 - 36\,y^{10} \end{equation*}

Este caso de factorización es muy sencillo. Simplemente debemos calcular la raíz cuadrada de cada uno de los términos y utilizarlos para escribir un producto conjugado:

    \begin{eqnarray*}    \sqrt{16\,x^4} & = & 4\,x^2\\    \sqrt{36\,y^{10}} & = & 6\,y^5 \end{eqnarray*}

Al escribir el producto conjugado obtenemos la factorización:

    \begin{equation*}    16\,x^4 - 36\,y^{10} = (4\,x^2 + 6\,y^5)(4\,x^2 - 6\,y^5) \end{equation*}

Puedes verificar que el resultado es correcto realizando la multiplicación.


Observa que pudimos haber transformado la diferencia de cuadrados con las siguientes sustituciones: m = 4\,x^2, n = 6\,y^5, y obtener:

    \begin{equation*}    16\,x^4 - 36\,y^{10} = m^2 - n^2 \end{equation*}

Al factorizar obtenemos:

    \begin{equation*}    m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) \end{equation*}

y al sustituir los valores definidos de m y n nos da:

    \begin{equation*}    16\,x^4 - 36\,y^{10} = m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = (4\,x^2 + 6\,y^5)(4\,x^2 - 6\,y^5) \end{equation*}

Esto muestra que estamos utilizando el producto notable, pero para un caso más general.


Ejemplo 12

Factoriza:

    \begin{equation*}    \frac{25\,x^6}{81} - \frac{9}{m^4} \end{equation*}

En este caso tenemos una diferencia de cuadrados, porque:

    \begin{equation*}  \left(\frac{5\,x^3}{9}\right)^2=\frac{25\,x^6}{81} \end{equation*}

y

    \begin{equation*}    \left(\frac{3}{m^2}\right)^2 = \frac{9}{m^4} \end{equation*}

Entonces, de acuerdo con la fórmula, tenemos:

    \begin{equation*}    \frac{25\,x^6}{81}-\frac{9}{m^4}=\left(\frac{5\,x^3}{9}+\frac{3}{m^2}\right)\left(\frac{5\,x^3}{9}-\frac{3}{m^2}\right) \end{equation*}



Ejemplo 13

Factoriza:

    \begin{equation*} 8\,x^3-27\,y^{12} \end{equation*}

Aquí tenemos el caso más laborioso, pero igual de sencillo: se trata de una diferencia de cubos. Primero sacamos la raíz cúbica de cada término:

    \begin{equation*}    \sqrt[3]{8\,x^3} = 2\,x\qquad\mbox{ porque }\qquad\left(2\,x\right)^3 = 8\,x^3 \end{equation*}

y

    \begin{equation*}    \sqrt[3]{27\,y^{12}} = 3\,y^4\qquad\mbox{ porque }\qquad\left(3\,y^4\right)^3 = 27\,y^{12} \end{equation*}

Ahora sustituimos de acuerdo a la fórmula:

    \begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{x^3}-\textcolor{red}{a^3} &=& (\textcolor{blue}{x}-\textcolor{red}{a})(\textcolor{blue}{x}^2+\textcolor{red}{a}\,\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{a}^2)\\ \textcolor{blue}{8\,x^3}-\textcolor{red}{27\,y^{12}} &=& \left(2\,x\right)^3-\left(3\,y^4\right)^3\\ \left(\textcolor{blue}{2\,x}\right)^3-\left(\textcolor{red}{3\,y^4}\right)^3&=&\left(\textcolor{blue}{2\,x}-\textcolor{red}{3\,y^4}\right)\left((\textcolor{blue}{2\,x})^2+\left(\textcolor{red}{3\,y^4}\right)\left(\textcolor{blue}{2\,x}\right) + \left(\textcolor{red}{3\,y^4}\right)^2\right)\\  &=& \left(2\,x-3\,y^4\right)\left(4\,x^2+6\,x\,y^4+9\,y^8\right) \end{eqnarray*}

En conclusión:

    \begin{equation*}    8\,x^3 - 27\,y^{12} = \left(2\,x - 3\,y^4\right)\left(4\,x^2 + 6\,x\,y^4 + 9\,y^8\right) \end{equation*}


Para que puedas identificar rápidamente qué caso de factorización debes utilizar trata de ver qué estructura tiene el polinomio que deseas factorizar.

Utiliza los procedimientos que se explican en los ejemplos, dependiendo de la estructura de cada polinomio.

No todos los polinomios se pueden factorizar. Por ejemplo, x^2 + 1 no se puede factorizar, a pesar de que parece sencillo. Cuando un polinomio no se pueda factorizar, es decir, no se pueda expresar como el producto de otros polinomios lineales (de grado 1) o cuadráticos (de grado 2), diremos que es un polinomio primo. En caso de que sí sea posible factorizarlo, diremos que ese polinomio es compuesto.

Hay un caso particular que no es precisamente factorización, pero que para llevarse a cabo se utiliza la factorización de un binomio al cuadrado. El caso al que nos referimos se conoce como completar cuadrados.
Este método se ejemplifica en el siguiente video.



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