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Factorización

Aprenderas los casos más comúnes de factorización.

La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación que debíamos realizar y encontrar el resultado.

Ahora, en la factorización se nos entrega el resultado y debemos encontrar cuál era la operación que se realizó, es decir, tenemos que expresarlo como si apenas se fuera a desarrollar el producto notable.


Factorización

Las reglas básicas para factorizar son:

  • Ley distributiva o factor común: \qquad a\,b + a\,c = a\,(b + c)
  • Trinomio cuadrado perfecto: \qquad x^2 \pm 2\,a\,x + a^2 = (x \pm a)^2
  • Trinomio cuadrado no perfecto: \qquad x^2 + (a + b)\,x + a\,b = (x + a)(x + b)
  • Diferencia de cuadrados: \qquad x^2 - a^2 = (x + a)(x - a)
  • Suma o diferencia de dos cubos: x^3\pm a^3 = (x\pm a)(x^2 \mp a\,x + a^2)

El hecho de reconocer cada uno de los casos de factorización nos ayudará a simplificar expresiones a lo largo de todos los cursos de matemáticas que vienen más adelante.

En realidad, puedes ver que para cada caso de factorización hay un caso correspondiente en los productos notables, de manera que con que memorices una fórmula, es suficiente para ambos temas.


Ejemplo 1

Factoriza:

    \begin{equation*}    2\,x^2 + 5\,x \end{equation*}

En este caso debemos utilizar la ley distributiva. Para esto identificamos el factor que se repite en todos los términos y lo escribimos a la izquierda. Luego escribimos dentro de un paréntesis todos los términos que no se repiten… Aquí se repite la x:

    \begin{equation*}    2\,x^2 + 5\,x = x\,(2\,x + 5) \end{equation*}

De manea que si multiplicamos obtenemos de nuevo: 2\,x^2 + 5\,x.


En este primer ejemplo solamente teníamos un factor común. En algunos otros casos tendremos dos o más, como en el siguiente ejemplo.


Ejemplo 2

Factoriza:

    \begin{equation*} 12\,x^3 + 8\,x^2 - 20\,x \end{equation*}

Lo primero que debemos observar es que todos los coeficientes de los términos del trinomio se pueden dividir exactamente entre 4. Esto nos sugiere que factoricemos al número 4.

Pero también podemos factorizar la literal x, porque aparece en todos los términos. Entonces, aplicando la ley distributiva obtenemos:

    \begin{equation*}    12\,x^3 + 8\,x^2 - 20\,x = 4\,x\left(3\,x^2 + 2\,x - 5\right) \end{equation*}

Para verificar que el resultado es correcto, puedes multiplicar y debes obtener el trinomio de la izquierda de la igualdad.



Ejemplo 3

Factoriza:

    \begin{equation*} 3\,x^3 + 21\,x^4b + 18\,x^5 - 9\,x^6 \end{equation*}

En este ejemplo tenemos que todos los coeficientes son divisibles por 3. Así que vamos a factorizar a este número. Además, podemos factorizar, no solamente al número x, sino a x^3:

    \begin{equation*}    3\,x^3 + 21\,x^4b + 18\,x^5 - 9\,x^6 = 3\,x^3\cdot\left(1 + 7\,x\,b + 6\,x^2 - 3\,x^3\right) \end{equation*}

Puedes verificar que la factorización es correcta realizando la multiplicación que queda indicada.


El primer paso que debes realizar cuando vas a factorizar una expresión es verificar si puedes aplicar la ley distributiva.


Ejemplo 4

Factoriza:

    \begin{equation*} x^2 + 12\,x + 36 \end{equation*}

En este caso vamos a ver si se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Para eso, primero sacamos la mitad del coeficiente del término que contiene x, también conocido como el término lineal.

La mitad de 12 es: 6

Ahora calculamos el cuadrado de este número: 6^2 = 36.

Como este resultado coincide con el término independiente (el que no contiene a x) del trinomio que nos dieron, sí se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Entonces,

    \begin{equation*}    x^2 + 12\,x + 36 = (x + 6)^2 \end{equation*}

Para verificar que el resultado es correcto, podemos desarrollar el binomio al cuadrado.





Ejemplo 5

Factoriza:

    \begin{equation*} m^4 - 6\,m^2 + 9 \end{equation*}

En este caso no tenemos un polinomio cuadrático, sino de grado cuatro. Sin embargo, podemos transformarlo a un trinomio cuadrado si utilizamos la siguiente sustitución: x = m^2. Porque al aplicar las leyes de los exponentes obtenemos: x^2 = m^4, y al sustituir en el trinomio que nos dieron nos queda:

    \begin{equation*}    m^4 - 6\,m^2 + 9 = x^2 - 6\,x + 9 \end{equation*}

Ahora sí, tenemos un trinomio cuadrado. Vamos a ver si es un trinomio cuadrado perfecto: para eso sacamos la mitad del coeficiente del término lineal (-6/2 = -3) y lo elevamos al cuadrado (9).

Como obtuvimos 9, y este es el valor del término independiente, sí se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Entonces, se trata del caso (\textsl{ii}) de factorización:

    \begin{equation*}    x^2 - 6\,x + 9 = (x - 3)^2 \end{equation*}

Pero nuestro ejercicio no incluía a la literal x. Nosotros decidimos incluirla para simplificar el problema. Así que lo único que falta es hacer la sustitución: x = m^2,

    \begin{equation*}    m^4 - 6\,m^2 + 9  = x^2 - 6\,x + 9 = (x - 3)^2 = \left(m^2 - 3\right)^2 \end{equation*}

El resultado es: m^4 - 6\,m^2 + 9  = \left(m^2 - 3\right)^2.


Observa que en el ejemplo anterior todas las literales tenían exponente par. Por eso es fácil hacer la transformación del polinomio de grado cuatro a uno de grado dos.

No siempre vamos a tener coeficiente igual a uno en el término cuadrático. El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos.


Ejemplo 6

Factoriza:

    \begin{equation*} 4\,x^2 -20\,x + 25 \end{equation*}

En este caso es más sencillo empezar calculando la raíz cuadrada de los términos cuadrático e independiente:

    \begin{equation*}    \sqrt{4\,x^2} = 2\,x\qquad\mbox{ y }\qquad \sqrt{25} = 5 \end{equation*}

Nosotros sabemos por el producto notable de elevar un binomio al cuadrado que:

    \begin{equation*}    (x - a)^2 = x^2 - 2\,a\,x + a^2 \end{equation*}

Entonces, el coeficiente del término lineal es igual al doble del producto de los términos independiente y cuadrático. Podemos comparar este producto con el término lineal del polinomio que nos dieron a factorizar:

    \begin{equation*}    - 2\cdot (2\,x)\cdot(5) = -20\,x \end{equation*}

Como coinciden, se trata de un trinomio cuadrado perfecto, y su factorización queda:

    \begin{equation*}    4\,x^2 -20\,x + 25 = (2\,x - 5)^2 \end{equation*}

Debes tener cuidado, porque muchos estudiantes olvidan multiplicar por la raíz del coeficiente del término cuadrático (el 2 de 2\,x) cuando están verificando que el término lineal sea -2\,a\,x.



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