Errores pequeños y razones de cambio relacionadas

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Ejemplo

La arista de un cubo variable crece a razón de 3 cm/s. ¿Con qué rapidez está creciendo el volumen cuando la arista tiene 10 cm de longitud?

Sabemos que el volumen de un cubo se calcula por medio de la fórmula: $V = L^3$ . De aquí podemos encontrar $dV = 3L^2dL$ . Conocemos la rapidez con la que crece la arista, $dL/dt$ , y queremos encontrar la rapidez con la que crece el volumen, esto es, $dV/dt$ . Entonces, requerimos encontrar $dV/dt$ , conocidos $dL/dt$ y $L$ . Sustituyendo los valores conocidos obtenemos:

$\begin{equation*} \frac{dV}{dt} = 3\,L^2\,\frac{dL}{dt} = 3\,(10)^2(3) = 900 \mbox{cm$^3$/seg.} \end{equation*}$

Ejemplo

Si se mide el radio de una esfera, se encuentra que es 20 cm., con un error máximo de 0.05 cm. Aproxime el error máximo que puede cometerse al calcular el área de la esfera con estos datos.

Sabemos que la superficie de una esfera se calcula por medio de la fórmula: $A = 4\,\pi r^2$ . Para encontrar el error máximo cometido al calcular la superficie de la esfera podemos utilizar diferenciales. Calculamos el diferencial del área como función del radio de la esfera:

$\begin{equation*} dA = 8\,\pi r\,(dr) \end{equation*}$

Ahora sustituimos los valores conocidos:

$\begin{equation*} dA = 8\,\pi\,(20)(0.05)= 8\pi\mbox{ cm}^2 \approx 25.13274123 \mbox{ cm}^2 \end{equation*}$

Ejemplo

Las 6 caras de una caja cúbica metálica tienen 0.25 cm de espesor, y el volumen interior de la caja es de 40 cm $^3$ . Calcula una aproximación del volumen del metal usado al hacer la caja.

Sabemos que la caja es cúbica, luego, el volumen está dado por: $V = L^3$ . El diferencial de volumen se encuentra por medio de la fórmula:

$\begin{equation*} dV = 3\,L^2\,(dL) \end{equation*}$

El texto indica que el volumen de la caja es 40 cm $^3$ , luego, el lado debe ser igual a la raíz cúbica de 40, esto es: $L = \sqrt[3]{40}$ , y $dL = 0.25$ cm. Consideramos un incremento del volumen de la caja, suponiendo que crece en una sola dirección, por lo que queremos calcular $dV = 3\,L^2\,(dL)$ . Sustituyendo los valores de las incógnitas en la fórmula obtenemos:

$\begin{equation*} dV %& = & 3\,\left(\sqrt[3]{40}\right)^2(0.25) %= 3\,\left(2\,\sqrt[3]{5}\right)^2\,\frac{1}{4}\\ %& = & 3\,(\cancel{4})\left(5^{2/3}\right)\,\left(\frac{1}{\cancel{4}}\right) = 3\cdot 5^{2/3}\\ = 3\cdot \sqrt[3]{25} \end{equation*}$

Ejemplo

Encontrar el crecimiento aproximado de la superficie de una burbuja de jabón, si su radio crece de 3 a 3.025 cm.

Sabemos que el área de una esfera está dado por: $A = 4\,\pi\,r^2$ . Para este caso tenemos $r = 3$ cm y $dr = 0.025$ cm. el diferencial del área es:

$\begin{equation*} \frac{dA}{dr} = 8\,\pi\,r\qquad\Rightarrow dA = 8\,\pi\,r\,(dr) \end{equation*}$

Sustituimos los valores de las variables:

$\begin{equation*} dA = 8\,\pi\,r\,(dr) = 8\,\pi\,(3)(0.025) = 0.6 \mbox{ cm}^2 \end{equation*}$

Esto también puede expresarse de la siguiente manera:

$\begin{equation*} dA = 8\,\pi\,r\,(dr) = 8\,\pi\,(3)\left(\frac{25}{1\,000}\right) = \frac{24\,\pi}{40} = \frac{6\,\pi}{10} \mbox{ cm}^2 \end{equation*}$

Ejemplo

Aceptando que una burbuja de jabón conserva su forma esférica cuando se expande, ¿con qué rapidez está creciendo su radio cuando éste mide 2 plg., si el aire que penetra la infla a rapidez de 4 plg $^3$ /s?

Conocemos la fórmula para encontrar el volumen $V$ de una esfera:

$\begin{equation*} V = \frac{4}{3}\,\pi\,r^3 \end{equation*}$

Como necesitamos encontrar la rapidez con la que crece el radio, derivamos la fórmula respecto del tiempo de manera implícita:

$\begin{equation*} \frac{dV}{dt} = 4\,\pi\,r^2\,\frac{dr}{dt} \end{equation*}$

Ahora despejamos $dr/dt$ , que es nuestra incógnita:

$\begin{equation*} \frac{dr}{dt} = \frac{\displaystyle\left(\frac{dV}{dt}\right)}{4\,\pi\,r^2} \end{equation*}$

Sustituyendo los valores conocidos obtenemos:

$\begin{equation*} \frac{dr}{dt} = \frac{\displaystyle\left(\frac{dV}{dt}\right)}{4\,\pi\,r^2} = \frac{\cancel{4}}{\cancel{4}\,\pi\,(2)^2} = \frac{1}{4\,\pi}\mbox{ plg/s} \end{equation*}$

Ejemplo

Se estima que el radio de un balón de soccer es de 12 plg., con un máximo error en la medición de 0.05 plg. Haga una estimación del máximo error que se puede cometer al calcular el volumen del balón en estas condiciones.

Sabemos que el volumen $V$ de una esfera está dado por:

$\begin{equation*} V = \frac{4}{3}\,\pi\,r^3 \end{equation*}$

La diferencial que le corresponde a esta función es:

$\begin{equation*} dV = 4\,\pi r^2\,(dr) \end{equation*}$

Para este problema, conocemos que $r = 12$ y $dr = 0.05$ . Entonces

$\begin{equation*} dV = 4\,\pi\,(12)^2(0.05) \end{equation*}$

esto es igual a: $dV = \frac{144\,\pi}{5} \mbox{ plg}^3$ .

Ejemplo

Suponga que a lo largo del ecuador y por todo alrededor de la tierra se coloca una cerca que tiene una altura de 1 m. Suponga que la tierra es esférica y que su radio es de 40,000 Km. ¿Cuánto debe medir el área de la cerca?

Sabemos que el área de una circunferencia se encuentra por medio de la fórmula: $A = \pi\,r^2$ . De aquí que el diferencial de área sea:

$\begin{equation*} dA = 2\,\pi\,r\, (dr) \end{equation*}$

Sustituyendo los valores conocidos encontramos que:

$\begin{equation*} dA = 2\,\pi(40\,000\,000)(1) = 80\,000\,000\,\pi = 8 \times 10^7 \pi \mbox{ m}^2 \end{equation*}$

Ejemplo

El diámetro exterior de una concha esférica delgada es de 2 m. Si el espesor de la concha es de 3 cm., aproxime el volumen requerido de material para fabricar esa concha esférica.

El volumen de una esfera está dado por:

$\begin{equation*} V = \frac{4}{3}\,\pi\,r^3 \end{equation*}$

Podemos imaginar el espesor de la concha como una pequeña variación de volumen de una esfera infinitamente delgada de radio 2 m. Entonces tendremos: $r = 1$ y $dr = 0.03$ . Ahora encontramos el diferencial de volumen como función del radio:

$\begin{equation*} dV = 4\,\pi\,r^2\,(dr) \end{equation*}$

Al sustituir los valores podemos encontrar la aproximación del volumen del material utilizado al fabricar la esfera:

$\begin{equation*} dV = 4\,\pi\,(1)^2(0.03) = 4\,\pi\,(0.03) = 4\,\pi\,\left(\frac{3}{100}\right) = \frac{3\,\pi}{25} \end{equation*}$

Ejemplo

Se mide el diámetro de una esfera y con el resultado se calcula el valor de su volumen. Si el máximo error posible al medir el diámetro es 0.02 cm y el error máximo aceptable al medir el volumen es de 3 cm $^3$ , ¿cuál es el diámetro aproximado de la esfera en estas condiciones?

Sabemos que el volumen de la esfera se encuentra por medio de la fórmula:

$\begin{equation*} V = \frac{4}{3}\,\pi\,r^3 \end{equation*}$

De aquí podemos fácilmente obtener el diferencial del volumen como una función del radio:

$\begin{equation*} dV = 4\,\pi\,r^2\,(dr) \end{equation*}$

Esta igualdad es equivalente a la siguiente:

$\begin{equation*} r^2 = \frac{(dV)}{4\,\pi\,(dr)} \end{equation*}$

Sabemos que el error máximo permisible en el volumen es de 3 cm $^3$ , esto corresponde a $dV$ , mientras que el error máximo en la medición del radio es de 0.02 cm, que corresponde al valor de $dr$ . Sustituimos estos valores, y encontramos $r^2$ .

$\begin{equation*} r^2 = \frac{(dV)}{4\,\pi\,(dr)} = \frac{3}{4\,\pi\,(0.02)} = \frac{300}{8\,\pi} = \frac{75}{2\,\pi} \end{equation*}$

Esto implica que:

$\begin{equation*} r = \sqrt{\frac{75}{2\,\pi}} \end{equation*}$

El diámetro es el doble del radio, entonces:

$\begin{equation*} D = 2\,\sqrt{\frac{75}{2\,\pi}} = \sqrt{\frac{150}{\pi}} \end{equation*}$

Ejemplo

La altura de un cilindro circular recto es de 10 cm. Si el radio de la base cambia de 2 a 2.06 cm, calcule el cambio de volumen aproximado del cilindro.

El volumen del cilindro está dado por:

$\begin{equation*} V = \pi\,r^2\,h \end{equation*}$

donde $V$ es el volumen (en cm $^3$ ), $~r~$ es el radio del cilindro (en cm) y $h$ es la altura (en cm) del mismo. Como haremos una pequeña variación en el radio, debemos encontrar el diferencial del volumen como una función del radio, esto resulta en:

$\begin{equation*} dV = 2\,\pi\,r\,h\,(dr) \end{equation*}$

Ahora sustituimos los valores de las variables: de acuerdo al texto $h = 10$ cm, $r = 2$ cm, $dr = 0.06$ cm.

$\begin{equation*} dV = 2\,\pi\,r\,h\,(dr) = 2\,\pi\,(2)(10)(0.06)=2.4\,\pi \mbox{ cm}^3 \end{equation*}$

Ejemplo

De un contenedor cae arena formando un cono circular cuya altura es siempre igual al radio. Si en cierto instante, el radio es 10 cm., utilice diferenciales para encontrar qué cambio en el radio ocasionará un aumento en el volumen de arena en 2 cm $^3$ .

El volumen del cono de radio $~r~$ y altura $h$ está dado por:

$\begin{equation*} V = \frac{\pi\,r^2\,h}{3} \end{equation*}$

Pero para este caso particular, la altura siempre es igual al radio, entonces el volumen de este cono debe ser:

$\begin{equation*} V = \frac{1}{3}\,\pi\,r^3 \end{equation*}$

La diferencial del volumen como función del radio es:

$\begin{equation*} dV = \pi\,r^2\,(dr) \end{equation*}$

Sabemos que $r = 10$ cm., y que $dV = 2$ cm $^3$ . Nuestro problema consiste en encontrar el incremento en el radio que hará que el volumen crezca en $dV = 2$ cm $^3$ . Primero despejamos $dr$ de la expresión que nos da el diferencial del volumen, y después sustituimos estos valores en la nueva expresión, con lo que obtenemos:

$\begin{equation*} dr = \frac{(dV)}{\pi\,r^2} = \frac{2}{\pi\,(10)^2} = \frac{1}{50\,\pi}\mbox{ cm.} \end{equation*}$

Ejemplo

Un niño está elevando un papalote (una cometa). Si el papalote está a 9 metros de altura y el viento está soplando a razón de 5 m/s., ¿con qué rapidez está soltando el niño la cuerda en el momento que ha soltado 150 metros?

Para resolver este problema supondremos que la cometa es arrastrada por el viento a la velocidad del mismo (5 m/s). Entonces, la cometa viaja de manera horizontal a razón de 5 m/s, a una altura constante de 9 metros. Sea $~r~$ la longitud de la cuerda que el niño ha soltado, $x$ la distancia medida desde el pie del niño hasta el punto donde toca el suelo la proyección vertical de la cometa.

De acuerdo al teorema de Pitágoras: $x^2 + (9)^2 = r^2\qquad\Rightarrow\qquad x^2 + 81 = r^2$ . Encontramos la derivada implícita de esta expresión respecto al tiempo:

$\begin{equation*} 2\,x\frac{dx}{dt} = 2\,r\,\frac{dr}{dt} \end{equation*}$

Ahora despejamos la incógnita:

$\begin{equation*} \frac{dr}{dt} = \frac{x\cdot\frac{dx}{dt}}{r} \end{equation*}$

Para encontrar el valor de la incógnita, debemos conocer primero $~r~$ (150 m), $dx/dt$ (5 m/s) y el valor de $x$ .
Para esto utilizamos el teorema de Pitágoras:

$\begin{equation*} x = \sqrt{150^2 - 9^2} = \sqrt{22\,500 - 81} = \sqrt{22\,419} \end{equation*}$

Ahora, lo que falta es sustituir los valores conocidos para encontrar el valor de la incógnita:

$\begin{equation*} \frac{dr}{dt} = \frac{x\,\frac{dx}{dt}}{r} = \frac{\sqrt{22\,419}\cdot (5)}{150} = \frac{\sqrt{22\,419}}{30} \approx 4.99 \mbox{ metros por segundo.} \end{equation*}$

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Aprenderás a aplicar el diferencial para calcular de manera aproximada el cambio en una magnitud y para modelar situaciones en las que existen razones de cambio relacionadas.

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