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El Diferencial

Aprenderás la definición de diferencial (como una aproximación al incremento de una función) y su interpretación geométrica,.
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En el curso de cálculo diferencial aprendimos a calcular la derivada de una función. El diferencial es el concepto que nos ayudará a justificar el procedimiento que utilizaremos para el cálculo integral.

Diferencial

Sea y = f(x) una función con su primera derivada contínua y \Delta x un incremento en la variable x. La diferencial de y se denota por dy y se define como:

    \begin{equation*} dy = f'(x)\cdot\Delta x \end{equation*}

En palabras, la diferencial de y es igual al producto de la derivada de la función multiplicada por el incremento en x.

Ejemplo

Calcula la diferencial para la función:

    \begin{equation*} y = x^2 + x + \frac{1}{x} \end{equation*}

Por definición,

    \begin{equation*} dy = f'(x)\cdot\Delta x = \left(2\,x + 1 - \frac{1}{x^2}\right)\cdot\Delta x = 2\,x\Delta x + \Delta x - \frac{\Delta x}{x^2} \end{equation*}

Ejemplo

Calcula la diferencial para la función: y = \cos(\sin x).

Primero calculamos la primera derivada de la función:

    \begin{equation*} \frac{dy}{dx}= -\sin(\sin x)\cdot \cos x \end{equation*}

Para calcular la diferencial multiplicamos esta derivada por el incremento en x:

    \begin{equation*} dy = -\sin(\sin x)\cdot \cos(x)\cdot \Delta x \end{equation*}

Como puedes ver, el cálculo de la diferencial de una función es muy sencillo: solamente multiplicamos su derivada por \Delta x. Ahora vamos a dar una interpretación geométrica de este concepto.

Interpretación geométrica

Ya sabemos que la derivada de una función es la mejor aproximación lineal a la función en un punto. En particular, la derivada evaluada en un punto de la función es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Al multiplicar f'(x_0) (la pendiente de la recta tangente a la función en el punto x_0) por \Delta x (el incremento en x) obtenemos el incremento en y al movernos sobre la recta tangente.

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Observa que \epsilon + dy = \Delta y. Es decir, dy = \Delta y - \epsilon. En palabras, dy es una aproximación a \Delta y. Cuando el valor de \epsilon se hace muy pequeño, la aproximación se hace cada vez mejor. \epsilon se hará cada vez más pequeño cuando la segunda derivada sea casi cero. Esto es así porque la pendiente de las rectas tangentes a la gráfica de la función se mantienen casi constantes en la cercanía de x_0.

En realidad estamos calculando una aproximación a \Delta y (el incremento de y), suponiendo que la función es lineal en el intervalo (x_0, x_0 + \Delta x). Este argumento se hace evidente al suponer que la función y = f(x) es una línea recta, pues su primer derivada es igual a la pendiente de la recta y su segunda derivada es cero.

La segunda derivada nos está diciendo que la pendiente de la recta nunca cambia, por lo que la concavidad de la función no está definida, dado que la segunda derivada es cero en todos sus puntos. La diferencia f(x_0 + \Delta x) - dy es el error que cometemos al hacer la aproximación de f(x_0 + \Delta x) suponiendo que se comporta la función exactamente igual que una recta.

Reglas de diferenciación

Para calcular la derivada de una función, siempre identificábamos el tipo de función, y aplicábamos la(s) regla(s) correspondiente(s). Las reglas de diferenciación generalmente se dan en un formulario que se muestra enseguida:

\begin{minipage}{0.95\linewidth} \begin{itemize} \item $\displaystyle\frac{dc}{dx} = 0$ \item $\displaystyle\frac{dx}{dx} = 1$ \item $\displaystyle\frac{d(u+v)}{dx} = \frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(c\cdot v)}{dx} = c\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(u\cdot v)}{dx} = u\,\frac{dv}{dx}+v\,\frac{du}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(v^n)}{dx} = n v^{n-1}\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\,\displaystyle\frac{du}{dx} - u\,\frac{dv}{dx}}{v^2}$ \item $\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}$ \end{itemize} \end{minipage}

Las siguientes son las reglas de derivación de funciones trascendentes.

\begin{minipage}{0.95\linewidth} \begin{itemize} \item $\displaystyle\frac{d(\sin v)}{dx} = \cos v\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\cos v)}{dx} = - \sin v\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\tan v)}{dx} = \sec^2 v\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\mathrm{cot}\; v)}{dx} = - \mathrm{csc}^2 v\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\mathrm{sec}\; v)}{dx} = \mathrm{sec}\; v\,\tan v\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\mathrm{csc}\; v)}{dx} = - \mathrm{csc}\; v\,\mathrm{cot}\; v\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\mathrm{arcsin}\; v)}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}}\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\mathrm{arccos}\; v)}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1 - v^2}}\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\mathrm{arctan}\; v)}{dx} = \frac{1}{1 + v^2}\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\mathrm{arccot}\;v)}{dx} = \frac{-1}{1 + v^2}\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\mathrm{arcsec}\;v)}{dx} = \frac{1}{v\,\sqrt{v^2 - 1}}\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\mathrm{arccsc}\;v)}{dx} = \frac{-1}{v\,\sqrt{v^2 - 1}}\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\ln v)}{dx} = \frac{1}{v}\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\log_{a} v)}{dx} = \frac{\log_{a} e}{v}\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(a^{v})}{dx} = a^{v}\,\ln a\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(e^{v})}{dx} = e^{v}\,\frac{dv}{dx}$ %\item $\displaystyle\frac{d(v^{u})}{dx} = \left(u\cdot v^{u-1}+\ln v\cdot v^{u}\right)\,\frac{du}{dx}$ \end{itemize} \end{minipage}

Es una muy buena idea memorizar las fórmulas porque mas estaremos utilizando continuamente a lo largo del curso.

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