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Ecuaciones lineales con una incógnita

Aprenderás a resolver ecuaciones lineales con una incógnita.

Vamos a empezar el estudio de las ecuaciones de primer grado con el caso más sencillo. Poco a poco iremos estudiando casos más complicados. Una ecuación es una expresión matemática que iguala dos cantidades. Por ejemplo, 5 + 7 = 12. Empezamos la solución de ecuaciones con el siguiente juego.


Ejemplo 1

Pensé un número. Primero lo multipliqué por 7, al resultado le sumé 1 y finalmente obtuve 50. ¿Qué número pensé?

No sabemos de inicio qué número pensó. Solamente sabemos que cuando multiplicó por 7, le sumó uno y obtuvo 50.

Supongamos que pensó el número x. Cuando lo multiplicó por 7 obtuvo: 7\,x. Después, cuando sumó 1 con lo que tenía: 7\,x + 1 Y este valor es igual a 50: \textcolor{red}{7\,x + 1 = 50}.

Antes de tener 50 tenía: \textcolor{red}{7\,x = 50 - 1}, porque todavía no sumaba 1. Es decir, \textcolor{red}{7\,x = 49}.

Y antes de multiplicarlo por 7 no tenía 49, sino la séptima parte de 49:

    \begin{equation*}    \frac{\cancel{7}\,x}{\cancel{7}} = x = \frac{49}{7} = \textcolor{blue}{7} \end{equation*}

Esto significa que pensó el número 7. Ahora verificamos que es verdad:

    \begin{eqnarray*}    7\,x + 1 &=& 50\\    7\,(\textcolor{blue}{7}) + 1 &=& 50 \end{eqnarray*}


En el primer ejemplo lo que no conocíamos era el número que pensó. En una ecuación, la incógnita representa un dato que no conocemos. Por eso, en el ejemplo anterior representamos la incógnita con la letra x.

Las incógnitas se representan por medio de letras cuando escribimos una ecuación.

El grado de una ecuación indica el mayor exponente que tiene alguna incógnita de la misma. En el ejemplo del número que pensó, la incógnita tiene exponente 1, por eso es una ecuación de primer grado.

Una ecuación puede tener más de una incógnita, pero en esta lección, solamente estudiaremos las ecuaciones con una incógnita.

Dejaremos las ecuaciones con más incógnitas para más adelante. Para poder resolver ecuaciones con varias incógnitas primero necesitas entender cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado con una incógnita.


Ejemplo 2

Resuelve la siguiente ecuación:

    \begin{equation*} 3\,x + 5 = 20 \end{equation*}

Podemos razonar igual que en el ejemplo anterior: primero multiplicaron por 3, y al resultado le sumaron 5 y finalmente obtuvieron 20.

El problema dice: Pensé un número, lo multipliqué por 3, al resultado le sumé 5 y obtube 20. ¿Qué número pensé?

Antes de sumar 5 no tenían 20, sino 20 - 5 = 15

    \begin{equation*}    3\,x + 5 \textcolor{blue}{- 5} = 20 \textcolor{blue}{- 5} = 15 \end{equation*}

Y antes de multiplicar por 3 no tenían 15, sino 15 / 3:

    \begin{equation*}    \frac{\cancel{3}\,x}{\cancel{3}} = x = \frac{15}{3} = 5 \end{equation*}

Eso indica que la solución de la ecuación es x = 5. Comprobación:

    \begin{eqnarray*}    3\,x + 5 &=& 20\\    3\,(5) + 5 &=& 20\\    15 + 5 &=& 20 \end{eqnarray*}


La solución de una ecuación es el (conjunto de) valor(es) que debe(n) tomar la(s) incógnita(s) para que la igualdad resulte verdadera.

En el ejemplo anterior la solución de la ecuación es x = 5 porque cuando sustituimos este valor, la igualdad se cumple. Sin embargo, cuando sustituimos otro valor la igualdad no se cumple. Por ejemplo, si sustituimos 1 en lugar de x obtenemos:

    \begin{eqnarray*} 3\,x + 5 &=& 20\\ 3\,(1) + 5 = 8 &\neq& 20 \end{eqnarray*}

Las ecuaciones de primer grado pueden tener más de una solución (¿Cuántas soluciones tiene la ecuación x = x?). También es posible que no tengan solución. Considere, por ejemplo la ecuación:

    \begin{equation*}    x = x + 1 \end{equation*}

Algunas ecuaciones tienen incógnitas en ambos lados de la igualdad, como la que resolvemos en el siguiente ejemplo.


Ejemplo 3

Resuelve la siguiente ecuación lineal:

    \begin{equation*}    2\,x + 2 = x + 6 \end{equation*}

Observa que tenemos tanto números en ambos lados de la igualdad como incógnitas.
La primera estrategia consiste en restar 2 en ambos lados de la ecuación para que del lado izquierdo de la igualdad desaparezca el 2:

    \begin{eqnarray*}    2\,x + \cancel{2} - \cancel{2} &=& x + 6 - 2\\    2\,x &=& x + 4 \end{eqnarray*}

Ahora vamos a restar x en ambos lados de la iguadad para que tengamos la incógnita solamente en el lado izquierdo de la igualdad:

    \begin{eqnarray*}    2\,x  - x&=& \cancel{x} + 4 - \cancel{x}\\    x &=& 4 \end{eqnarray*}

Entonces, la solución de la ecuación es: x = 4. Comprobación:

    \begin{eqnarray*}    2\,x + 2 &=& x + 6\\    2\,(4) + 2 &=& (4) + 6\\    8 + 2 &=& 10 \end{eqnarray*}



Ejemplo 4

Resuelve la siguiente ecuación lineal:

    \begin{equation*} 5\,x - 2 = 3\,x + 2 \end{equation*}

Primero podemos sumar en ambos lados de la igualdad 2:

    \begin{eqnarray*}    5\,x - \cancel{2} + \cancel{2} &=& 3\,x + 2 + 2\\    5\,x &=& 3\,x + 4 \end{eqnarray*}

Ahora podemos sumar en ambos lados de la igualdad el término: -3\,x

    \begin{eqnarray*}    5\,x - 3\,x &=& \cancel{3\,x} + 4 - \cancel{3\,x}\\    2\,x &=& 4 \end{eqnarray*}

Finalmente dividimos ambos lados de la igualdad entre 2 y obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\cancel{2}\,x}{\cancel{2}} &=& \frac{4}{2}\\    x &=& 2 \end{eqnarray*}

Esto nos indica que la solución de la ecuación: 5\,x - 2 = 3\,x + 2 es: x = 2. Comprobación:

    \begin{eqnarray*}    5\,x - 2 &=& 3\,x + 2\\    5\,(2) - 2 &=& 3\,(2) + 2\\    10 - 2 &=& 6 + 2\\    8 &=& 8 \end{eqnarray*}


Hasta aquí hemos trabajado con ecuaciones con coeficientes enteros. Sin embargo también podemos encontrar ecuaciones con coeficientes fraccionarios.

El método de solución de las ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios es exactamente igual que su contraparte con coeficientes fraccionarios. La única diferencia consiste en que ahora en lugar de realizar operaciones con números enteros, las tendremos que hacer con fracciones.


Ejemplo 5

Resuelve la siguiente ecuación lineal:

    \begin{equation*} \frac{3}{2}\,x + 1 = \frac{5}{4} \end{equation*}

Empezamos notando que tenemos coeficientes fraccionarios. Para empezar simplificando la ecuación vamos a sumar -1 en ambos lados de la ecuación:

    \begin{eqnarray*}    \frac{3}{2}\,x + \cancel{1} - \cancel{1} &=& \frac{5}{4} - 1\\    \frac{3}{2}\,x &=& \frac{5}{4} - \frac{4}{4}\\    \frac{3}{2}\,x &=& \frac{1}{4} \end{eqnarray*}

Observa que tomamos ventaja del hecho de que un número (disntito de cero) dividido por sí mismo siempre es igual a la unidad. Eso nos permite escribir al número 1 como la fracción 4/4, así es más fácil realizar la resta de fracciones, dado que tenemos el mismo denominador.

Si eres observador, ya te habrás dado cuenta que cuando queremos simplificar una ecuación que tiene un coeficiente k, dividíamos por ese número. Pero dividir por el coeficiente k es lo mismo que multiplicar por el número 1/k, es decir, por su recíproco. Entonces, ahora debemos multiplicar por 2/3 ambos lados de la igualdad para simplificar la ecuación:

    \begin{eqnarray*}    \textcolor{blue}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{3}{2}\,x &=& \textcolor{blue}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{4}\\    x &=& \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \end{eqnarray*}

Entonces, la solución de la ecuación es x = 1/6. Para verificar que la solución es correcta, basta sustituir el valor de la solución en la ecuación:

    \begin{eqnarray*}    \frac{3}{2}\cdot(\textcolor{red}{x}) + 1 &=& \frac{5}{4}\\    \left(\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\textcolor{red}{\frac{1}{6}}\right) + 1 &=& \frac{5}{4}\\    \frac{\cancel{3}}{\cancel{12}} + 1 &=&  \frac{5}{4}\\    \frac{1}{4} + \frac{4}{4} &=&  \frac{5}{4}\\ \end{eqnarray*}

Entonces, la solución de la ecuación es correcta, porque la igualdad se cumple.


Como puedes ver, la solución de ecuaciones con coeficientes fraccionarios utiliza exactamente el mismo procedimiento que las ecuaciones con coeficientes enteros.

Independientemente de la complejidad de la ecuación lineal con coeficientes fraccionarios, siempre podemos resolverla utilizando el mismo procedimiento para resolverla suponiendo que sus coeficientes son enteros.

Esto es así porque tanto los números enteros como los números racionales (las fracciones) son números reales, y cuando resolvemos una ecuación suponemos que esta tiene solución en el conjunto de los números reales.


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