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Ecuaciones lineales con una incógnita

Aprenderás a resolver ecuaciones lineales con una incógnita.


Considerando el problema:


Un coche avanza con una velocidad constante de 60 km/hr. Escribe la ecuación que nos ayuda a calcular la distancia D recorrida por ese coche t horas después de haber comenzado su recorrido.

La respuesta sabemos que es: D = 60\,t, si la distancia se mide en kilómetros.

Si graficamos esta ecuación, asignando distintos valores a t y calculando sus respectivos valores para D, obtenemos:

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En matemáticas podemos decir que el punto donde se corta al eje (usando la gráfica) es una representación geométrica de la solución de una ecuación lineal.

Cuando hacemos la pregunta: ¿Cuántas horas deben pasar para recorrer 90 km?, geométricamente estamos dibujando una recta que corta al eje D en el punto D = 90, que representa una distancia de 90 kilómetros.

Cuando encontramos la intersección con la recta D = 60\,t estamos encontrando el punto que satisface a ambas condiciones simultáneamente: (a) que la distancia recorrida sea 90 km, y (b) que el recorrido se haga a una velocidad constante de 60 km/h.

Al encontrar la intersección con el eje t, estamos resolviendo la pregunta anterior.

De manera semejante, podemos resolver la pregunta: ¿Qué distancia recorrió 1.5 horas después de iniciado el viaje? En este caso empezamos dibujando una recta vertical (perpendicular al eje t) hasta que corte a la recta D = 60\,t. Después movemos el lápiz horizontalmente hasta cortar el eje D.

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La solución gráfica de las ecuaciones algunas veces no es fácil de resolver. Además, no nos da la respuesta exacta, como es el caso de la solución algebraica. Y por si esto fuera poco, generalmente requiere más tiempo resolver una ecuación lineal por este método. Por estas razones es más común resolver las ecuaciones lineales por el método algebraico.

Entonces, ¿por qué tomarnos la molestia de estudiar este tema? Pues este método es de ayuda para algunos tipos de ecuaciones que no son lineales, además de que nos ayudan a intepretar las soluciones de las ecuaciones. Esto nos indicará cuándo algunas ecuaciones no tengan soluciones.

Puedes fácilmente encontrar el dominio de una función lineal. Dado que la función lineal es de la forma:

    \begin{equation*}    y = m\,x + b \end{equation*}

Esta máquina para transformar números puede transformar cualquier número, dado que siempre podemos multiplicar un número cualquiera por m y al resultado sumarle b. Esto nos indica que puede transformar cualquier número. Por esto decimos que el dominio de la función lineal es el conjunto de los números reales (\mathbb{R}).

Es muy sencillo verificar que el contradominio de la función lineal (siempre y cuando m \neq 0) también es el conjunto de los números reales, para eso puedes pensar en la gráfica de una recta que no sea vertical.

Por cierto, una recta horizontal sí es una función, pero una recta vertical no lo es. ¿Puedes explicar por qué?

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