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Ecuaciones lineales con una incógnita

Aprenderás a resolver ecuaciones lineales con una incógnita.


Debes cuidar la forma en como presentas las soluciones de los problemas. En algunos casos la solución del problema no es solamente un número, pues se requiere especificar unidades. En el ejemplo anterior, las unidades eran pesos. En otros contextos, el problema te indicará cuáles son las unidades que debes incluir en la solución del problema.

En el siguiente ejemplo se trata de encontrar cuándo dos cantidades se igualan.


Ejemplo 11

Miguel gana actualmente $ 8\,100.00 pesos mensuales y cada mes tiene un aumento en su salario de $300.00 pesos. Por otra parte, Javier actualmente gana $ 10\,400.00, pero su incremento en el salario mensual es de $200.00 pesos. Javier quiere saber cuántos meses deben pasar para tener un salario igual al de Miguel.

Primero debemos reconocer que ambos tienen aumento mensual en sus salarios. Otra cuestión importante a considerar consiste en que Javier desea conocer la cantidad de tiempo que debe pasar para ganar lo mismo que Miguel. Por último, dado que los dos tienen aumento en sus salarios, el tiempo que pase a partir de hoy, será el mismo para ambos…, aunque no tienen los mismos aumentos en cada mes.

Con esta información en mente, iniciamos: actualmente Miguel gana $ 8\,100.00 pesos y cada mes aumenta su salario en $300.00 pesos. Si m es el número de meses que han pasado, el nuevo salario para él (M) se calcula sumando 300\,m al salario actual.

    \begin{equation*}    M = 8\,100 + 300\,m \end{equation*}

De manera semejante, el salario de Javier aumenta cada mes $200.00, aunque gana actualmente $10,400.00 pesos. El nuevo salario para él (J), después de m meses, es:

    \begin{equation*}    J = 10\,400 + 200\,m \end{equation*}

Javier quiere conocer cuántos meses (m) deben pasar para que su salario (J) sea igual al salario de Miguel (M):

    \begin{eqnarray*}    J &=& M\\    10\,400 + 200\,m &=& 8\,100 + 300\,m \end{eqnarray*}

Nosotros necesitamos calcular el valor de m, es decir, encontrar el número de meses que deben pasar para que los salarios sean iguales. Empezamos sumando en ambos lados de la igualdad -8\,100:

    \begin{eqnarray*}    10\,400 + 200\,m - 8\,100 &=& \cancel{8\,100} + 300\,m - \cancel{8\,100}\\    2\,300 + 200\,m &=& 300\,m \end{eqnarray*}

Ahora sumamos en ambos lados de la igualdad 200\,m:

    \begin{eqnarray*}    2\,300 + \cancel{200\,m} - \cancel{200\,m} &=& 300\,m - 200\,m\\    2\,300 &=& 100\,m \end{eqnarray*}

Finalmente, dividimos entre 100 ambos lados de la igualdad y encontramos el valor de la incógnita:

    \begin{eqnarray*}    \frac{2\,300}{100} &=& \frac{100\,m}{100}\\    23 &=& m \end{eqnarray*}

Lo que nos indica que deben pasar 23 meses para que ambos tengan el mismo salario. Ahora comprobamos que esto sea verdad. En 23 meses el salario de Miguel será:

    \begin{eqnarray*} M &=& 8\,100 + 300\,m\\   &=& 8\,100 + 300\,(23)\\   &=& 8\,100 + 6\,900\\   &=& 15\,000 \end{eqnarray*}

Por otra parte, el salario de Javier será:

    \begin{eqnarray*} J &=& 10\,400 + 200\,m\\   &=& 10\,400 + 200\,(23)\\   &=& 10\,400 + 4\,600\\   &=& 15\,000 \end{eqnarray*}

Entonces, en 23 meses, suponiendo que siguen teniendo el mismo aumento mensual en sus salarios, ambos ganarán $ 15\,000.00 pesos.


Este problema por casualidad tiene una solución entera, pero no necesariamente debe ser así. Si Miguel ganara $ 8\,200, por decir algo, el resultado no sería entero para que ambos ganaran la misma cantidad.

El punto que debes entender aquí consiste en que la solución de una ecuación lineal no siempre es un número entero.

También es importante que recuerdes que debes verificar que la solución del problema que has resuelto realmente satisfaga las condiciones del problema.

Muchas de las veces encontramos la solución de un problema y creemos ciegamente que esa solución es correcta, aunque no siempre es así. Por esto, es una buena idea verificar que la solución que hemos encontrado realmente satisface las condiciones que el problema impone.

En caso de que no las satisfaga, lo más sensato es revisar el procedimiento y corregirlo.

También es importante que entiendas un principio muy utilizado en matemáticas. Siempre que tenemos una ecuación lineal distinta a las que ya has resuelto, aplicando las propiedades de los números reales la simplificamos hasta obtener una ecuación lineal parecida a una que ya hayamos resuelto.

Por ejemplo, en el problema de las manzanas de David que se encuenta en la página \pageref{DavesApples}, se modeló con la ecuación:

    \begin{equation*}    9\,x + 4 = 7\,(x + 4) \end{equation*}

la fuimos transformando hasta obtener la ecuación:

    \begin{equation*}    2\,x = 24 \end{equation*}

que resolvimos con el método del problema de pensé un número.

Pero para transformar una ecuación en la otra solamente utilizamos las propiedades de los números reales y de la igualdad para obtener una ecuación que tenga la misma solución que la primera.

Cuando hacemos eso, decimos que en cada paso obtenemos una ecuación equivalente, porque ambas ecuaciones tiene exactamente la misma solución.

Entonces, las ecuaciones:

    \begin{equation*} 9\,x + 4 = 7\,(x + 4)\qquad \mbox{ y }\qquad 2\,x = 24 \end{equation*}

son equivalentes porque la solución de ambas ecuaciones es el mismo valor: x = 12.

Para verificar que esto es verdad, basta sustituir el valor de su solución en ambas ecuaciones y cada una debe reducirse a una igualdad que es verdadera.


Ejemplo 12

Un comerciante prepara una mezcla vitamínica con dos disoluciones. El precio de la disolución de la vitamína A es de $14.00 pesos por litro, y el precio de la disolución de la vitamina B es de $18.00 pesos por litro. Al combinar las disoluciones obtuvo 25 litros una mezcla que tiene un precio de $15.92 por litro. ¿Cuántos litros de cada disolución utilizó para preparar la mezcla?

Sabemos que si sumamos los litros de las disoluciones de vitamina A y de vitamina B, en total obtendremos 25 litros.
Asi que, si se tenía x litros de disolución de vitamina A, los litros de vitamina B son: 25 - x.
Los precios de cada disolución se pueden representar en una tabla:

DisoluciónCantidad (L)Precio ($/L)
Vitamina Ax14.00
Vitamina B25 - x18.00
Mezcla2515.92

Con la información contenida en la tabla es sencillo deducir que el precio de x litros de la disolución de vitamina A es: 14\,x pesos. Por otra parte, el precio de 25 - x litros de la disolución de vitamina B es: 18\cdot(25 - x) pesos. La suma de los anteriores debe ser igual a el precio de los 25 litros de la mezcla: (25)(15.92) = 398 pesos. Entonces,

    \begin{eqnarray*}    14\,x + 18\cdot(25 - x) &=& 398\\    14\,x + 450 - 18\,x &=& 398\\    -4\,x + 450 &=& 398 \end{eqnarray*}

Ahora podemos sumar en ambos lados de la igualdad 4\,x y después -398:

    \begin{eqnarray*}    -\cancel{4\,x} + 450 + \cancel{4\,x} - 398 &=& \cancel{398} + 4\,x - \cancel{398}\\    52 &=& 4\,x\\    \frac{52}{4} &=& \frac{\cancel{4}\,x}{\cancel{4}}\\    13 &=& x \end{eqnarray*}

Esto nos indica que utilizó 13 litros de la disolución de vitamina A y 25 - 13 = 12 litros de la disolución de la vitamina B para preparar la mezcla. Ahora vamos a verificar que la solución satisfaga las condiciones del problema:

  • Por los 13 litros de vitamina A tenía: (13)(14) = $182 pesos.
  • Por los 12 litros de vitamina B tenía: (12)(18) = $216 pesos.
  • En total, los 25 litros de la mezcla, tenía: 182 + 216 = 398 pesos.
  • Y cada litro de la mezcla debía costar: 398 / 25 = 15.92 pesos.

Como el precio de la mezcla que nos dieron en el problema coincide con el que calculamos a partir del resultado, la solución del problema es correcta.



Ejemplo 13

Cuando la longitud de un cuadrado se aumenta en 4 cm, su área aumenta en 200 cm^2. ¿Cuál es el área del cuadrado inicial?

Lo que sabemos es que el área aumenta 200 cm^2 cuando las longitudes de sus lados aumentan 4 cm. Supongamos que el lado del cuadrado inicial mide x cm, entonces la longitud del lado cuando se aumentaron 4 cm es: x + 4.

Rendered by QuickLaTeX.com

El área del cuadrado inicial es: x^2. El área del nuevo cuadrado es: (x + 4)^2. Sabemos que el nuevo cuadrado tiene 200 cm^2 más de área, entonces:

    \begin{eqnarray*}    \mbox{\textcolor{red}{\'Area cuadrado original}} + 200 &=& \mbox{\textcolor{blue}{\'Area nuevo cuadrado}}	\\    \textcolor{red}{x^2} + 200 &=& \textcolor{blue}{(x + 4)^2}	\\    \cancel{x^2} + 200 &=& \cancel{x^2} + 8\,x + 16\\    200 &=& 8\,x + 16\\    200 - 16 &=& 8\,x\\    \frac{184}{8} &=& x = 23 \end{eqnarray*}

Entonces, la longitud de los lados del otro cuadrado es de 23 + 4 = 27 cm. El cuadrado incial tiene un área de: x^2 = (23)^2 = 529 cm^2. El otro cuadrado tiene un área de: (x + 4)^2 = (27)^2 = 729 cm^2.



Ejemplo 14

Un rectángulo tiene 6 metros de largo más que de ancho. Cuando se aumenta su largo en 2 metros y su ancho en 3 metros, el área aumenta 84 metros cuadrados. ¿Cuáles eran las dimensiones del rectángulo antes de aumentar su tamaño?

Sabemos que originalmente tenía 6 metros más de largo que de ancho. Si x es su ancho, el largo será: x+6. Si se aumenta el largo en 2 metros el rectángulo nuevo tendrá un largo de (x + 6) + 2 = x + 8. Por otra parte, si el ancho se incrementa en tres metros, tendrá: x + 3. El área del nuevo rectángulo rebasa a la del rectángulo original en 84 m^2.

La ecuación que modela la situación actual es:

    \begin{eqnarray*}    \mbox{\'Area del rect\'angulo original} + 84 \mbox{ m}^2 &=& \mbox{\'Area del nuevo rect\'angulo} \\    x\,(x + 6) + 84 &=& (x + 3)(x + 8) \end{eqnarray*}

Ahora tratamos de simplificar la ecuación:

    \begin{eqnarray*}    x\,(x + 6) + 84 &=& (x + 3)(x + 8)\\    \cancel{x^2} + 6\,x + 84 &=& \cancel{x^2} + 11\,x + 24 \end{eqnarray*}

La ecuación se simplifica a una lineal:

    \begin{eqnarray*}    6\,x + 84 &=& 11\,x + 24\\    84 - 24 &=& 11\,x - 6\,x\\    60 &=& 5\,x \end{eqnarray*}

Esto nos indica que el ancho del rectángulo original era de 12 metros. El largo era de 12 + 6 = 18.

Verifica que la solución satisface las condiciones del problema.


Otro ejemplo que viene de las fracciones algebraicas es el siguiente.


Ejemplo 15

María de Jesús debía comprar x boletos de Monterrey, N.L., a Tampico, Tamps. Cuando llegó a la central de autobuses se encontró con que había un descuento del 40% en el boleto. Ella llevaba $720.00 pesos para comprar los boletos. Con el descuento ella ahora podía adquirir un boleto más y todavía le sobraban $72.00 pesos. ¿Cuántos boletos compró y cuánto le costaban sin el descuento?

Vamos a denotar con la literal x a la cantidad de boletos que ella debía comprar. Si cada boleto sin descuento le costaba p pesos, ella debía pagar p\cdot x = 720 pesos en total. Esto nos indica que: p = \frac{720}{x}.

Con el descuento ella solamente pagaba: 0.6\,p, porque le descontaban el 40% del precio. Así, ella podía comprar un boleto más, es decir, un total de (x+1) boletos. Y le sobrarían $72.00 pesos.

Esta situación se modela con la siguiente ecuación:

    \begin{equation*}    (0.6\,p)\,(x + 1) + 72 = 720 \end{equation*}

De esta ecuación podemos despejar el valor de p:

    \begin{eqnarray*}    (0.6\,p)\,(x + 1)  &=& 720 - 72\\ p &=& \frac{648}{0.6\,(x + 1)} = \frac{648}{\left(\frac{6}{10}\right)\,(x + 1)}\\   &=& \frac{(648)(10)}{(6)(x + 1)} \\   &=& \frac{6480}{6\,(x + 1)} \\   &=& \frac{1\,080}{x + 1} \end{eqnarray*}

En todo este desarrollo, hemos supuesto que el precio de cada boleto sin descuento es p pesos. Esto nos permite igualar ambos valores de p: dado que son el mismo, son iguales.

    \begin{eqnarray*}    p = \frac{720}{x} &=& \frac{1\,080}{x + 1}\\    720\,(x+1) &=& 1\,080\,x\\    720\,x + 720 &=& 1\,080\,x\\    720 &=& 1\,080\,x - 720\,x\\    720 &=& 360\,x\\    x &=& \frac{720}{360} = 2 \end{eqnarray*}

Entonces, la solución de la ecuación es: x = 2. Es decir, María de Jesús debía comprar 2 boletos.

Vamos a hacer la comprobación:

  • Como ella llevaba $720.00 pesos y debía comprar dos boletos, cada uno le costaba $720.00 \div 2 = $360.00 pesos.
  • Le ofrecieron el 40% de descuento, por lo que cada boleto le íba a costar: (0.6)($360) = $216.00 pesos.
  • Si hubiera comprado 3 boletos a ese precio debía pagar: (3)(216.00) = 648.00 pesos.
  • Como ella llevaba $720.00 pesos le sobraban: $720.00 - $648.00 = $72.00 pesos.


Ec. de primer grado y la función lineal

Como has visto en la sección anterior, en los problemas aplicados tenemos cantidades que dependen una de otra.

Por ejemplo, cuando vamos a comprar varios kilogramos de azúcar, si un kilogramo cuesta $13.00 pesos, la cantidad que debemos pagar por el azúcar que compremos depende del número de kilogramos que compremos de acuerdo a la siguiente relación:

    \begin{equation*}    P = 13\,x \end{equation*}

donde P es la cantidad de pesos que debemos pagar y x representa el número de kilogramos de azúcar que compramos.

Cuando tenemos una relación como la anterior, decimos que una cantidad depende de la otra, o que es función, una cantidad de la otra.

En el caso de la ecuación anterior, el valor de P depende del valor de x, o bien, P está en función de x.

Las funciones son objetos matemáticos que nos indican cómo están relacionadas dos o más variables.

Una función es lineal cuando tiene la siguiente forma:

    \begin{equation*}    y = m\,x + b \end{equation*}

donde tanto m como b son constantes y las literales y,x son variables o incógnitas.

El adjetivo lineal viene del hecho de que si graficamos la función en un sistema de coordenadas x,y, obtenemos una línea recta.

En la lista de ejercicios de la sección anterior algunas respuestas son funciones. Por ejemplo,

  • Un coche avanza con una velocidad constante de 60 km/hr. Escribe la ecuación que nos ayuda a calcular la distancia D recorrida por ese coche t horas después de haber comenzado su recorrido.

La respuesta a este ejercicio es: D = 60\,t, si la distancia se mide en kilómetros. Otro ejercicio que tiene por respuesta una función es el siguiente:

  • La cantidad de calorías que contiene una tortilla depende de la cantidad de gramos que pesa la tortilla y del tipo de maíz del cual se elaboró. Suponiendo que 100 gramos de tortillas de maíz amarillo tienen 325 calorías, encuentra una ecuación que ayuda a calcular las calorías C que ingiere una persona que come x tortillas en una ración, si cada tortilla pesa 25 gramos.

Y la respuesta a este ejercicio es: C = 81.25\,x. En este caso, la variable C que representa la cantidad de calorías que ingiere una persona, depende de la variable x, que representa la cantida de tortillas que ingiere esa persona. La variable C en este ejemplo es la variable dependiente, porque su valor depende del valor que tome x. Por otra parte, la variable x no depende de nadie, salvo del valor que queramos darle, por eso se dice que esta es la variable independiente.

Podemos pensar en una función como una máquina que transforma números: nosotros le damos un número y la función nos devuelve otro. Pero esa máquina debe devolvernos a lo más un único valor por cada valor que nosotros le demos.

Nosotros podemos darle muchos valores, aunque tal vez algunos no los pueda transformar. Es decir, tal vez no nos devuelva un valor cuando sustituyamos un valor específico. Al conjunto de valores que nosotros le podemos dar, le llamaremos dominio de la función.

La función nos estará devolviendo valores conforme nosotros le vayamos dando algunos valores. Al conjunto de valores que la función nos devuelve lo llamaremos contradominio de la función.

El siguiente diagrama puede ayudarte a entender mejor el concepto de función:

Rendered by QuickLaTeX.com

En este diagrama el dominio de la función se denota por el símbolo: \mathbb{X}, mientras que el contradominio se denota por el símbolo: \mathbb{Y}, y la función está representada por la literal: f.

Observa que la flecha va del conjunto \mathbb{X} al conjunto \mathbb{Y}, indicando que la función toma valores del primer conjunto (dominio) y nos devuelve los valores del segundo conjunto (contradominio).



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