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Ecuaciones lineales con una incógnita

Aprenderás a resolver ecuaciones lineales con una incógnita.


Salvo el ejemplo donde se pensó un número, las ecuaciones que hemos resuelto nos han servido solamente para ejercitarnos mentalmente y entender cómo pensamos cuando resolvemos un problema práctico.

Pero en realidad las ecuaciones lineales se inventaron para resolver problemas cotidianos.

El siguiente ejemplo muestra un problema donde las aplicamos.


Ejemplo 6

Carmela tiene el triple de años que su hija María. Ambas edades suman 60 años. ¿Qué edad tiene cada una de ellas?

Si María tiene x años, entonces, Carmela tiene 3\,x años (el triple de la edad de su hija).
La suma de las dos edades es 60 años. Entonces,

    \begin{equation*}    \mbox{\textcolor{blue}{Edad de Mar\'ia}} + \mbox{\textcolor{red}{Edad de Carmela}} = 60 \end{equation*}

Matemáticamente, tenemos:

    \begin{eqnarray*}    \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{3\,x} &=& 60\\    4\,x &=& 60\\    \frac{\cancel{4}\,x}{\cancel{4}} &=& \frac{60}{4}\\    x &=& 15 \end{eqnarray*}

Es decir, María tiene 15 años (recuerda que x representa la edad de María), y su mamá Carmela tiene: (3)(15) = 45 años. Y cumple con la condición de que al sumar las edades obtengamos 60: 15 + 45 = 60.


En matemáticas también se usan ecuaciones para resolver problemas geométricos que, muchas de las veces corresponden a problemas prácticos.


Ejemplo 7

Don Macario compró un terreno. Para cercarlo completamente necesitó 42 metros de malla. El terreno tiene forma rectangular y el largo mide el doble del ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?

Este problema en realidad es de geometría: Encontrar las dimensiones del rectángulo con perímetro 42 con el largo igual al doble del ancho. Nosotros lo vamos a aplicar al problema de Don Macario.

Para formarnos una idea más clara del problema vamos a dibujar un diagrama con la información que tenemos:

Rendered by QuickLaTeX.com

Observa que x representa la longitud del ancho del rectángulo, y el largo, por ser igual al doble del ancho, lo obtenemos multiplicando x por 2.

La longitud de la cerca que utilizaron debe ser igual al perímetro del rectángulo.

El perímetro del rectángulo es igual a la suma de las longitudes de los lados del terreno:

    \begin{equation*}    (x + 2\,x) + (x + 2\,x) = 6\,x \end{equation*}

y sabemos que esa longitud es igual a 42 metros, la longitud de la malla. Entonces, la ecuación lineal que modela esta situación es:

    \begin{equation*}    6\,x = 42 \end{equation*}

Esta ecuación es muy fácil de resolver. En palabras nos dice: Pensé un número (x) lo multipliqué por 6 y obtuve 42. ¿Qué número pensé?

La respuesta es inmediata: pensó 7, porque (6)(7) = 42.

Recuerda que x representa la longitud del ancho del terreno. Entonces, las dimensiones del rectángulo son: 7 metros de ancho y 14 metros de largo.

Vamos a verificar que este resultado realmente satisface las condiciones del problema. El ancho mide 7 metros y el largo el doble, es decir, 14 metros. El perímetro es igual a la suma de 7 + 7 + 14 + 14 = 42 metros. Entonces, el problema está resuelto correctamente.


Otra forma de resolver el problema es como sigue: Sabemos que necesitaron 42 metros de malla para cercar el terreno. Del diagrama es evidente que se requieren x + 2\,x metros de malla para cercar la mitad del terreno, y la mitad de 42 metros es 21 metros.

Entonces,

    \begin{equation*}    x + 2\,x = 3\,x = 21 \end{equation*}

Y para que la igualdad se cumpla se requiere que x = 7, porque la igualdad nos dice: Pensé un número, lo multipliqué por 3 y obtuve 21 – Pues debió pensar el número 7. Otro problema aplicado es el siguiente.


Ejemplo 8

En Monterrey, N.L., un taxi cobra $7.40 pesos al pedir servicio, más $4.70 pesos por kilómetro recorrido. Cuando vamos a comprar la despensa de mi casa pagamos $21.50 pesos. ¿A qué distancia en kilómetros está el supermercado?

Nuestra incógnita, es decir, el valor que queremos calcular, es la distancia de mi casa al super.
Vamos a denotar a ese número con la letra x.

Sabemos que por cada kilómetro que recorre el taxi me cobra $4.70 pesos más. Es decir, si recorre un kilómetro me cobra $7.40 pesos + $4.70 pesos más. Si recorre dos kilómetros me cobra $7.40 pesos + (2)($4.70) pesos más. Y si recorre tres me cobrará: $7.40 pesos + (3)($4.70) pesos más, y así sucesivamente.

Si recorrió x kilómetros debemos pagar: 7.40 + (4.70)(x). Tuve que pagar $21.50 pesos, entonces:

    \begin{equation*}    21.50 = 7.40 + (4.70)(x) \end{equation*}

Lo que necesitamos es calcular el valor de x para que se cumpla la igualdad. Esta ecuación se resuelve igual que los casos de los ejemplos anteriores. Empezamos sumando en ambos lados de la igualdad -7.40:

    \begin{eqnarray*}    21.50 - 7.40 &=& \cancel{7.40} + 4.70\cdot x - \cancel{7.40}\\    14.10  &=& 4.70\cdot x \end{eqnarray*}

Ahora dividimos ambos lados de la igualdad entre 4.70:

    \begin{eqnarray*}    \frac{14.10}{4.70}  &=& \frac{\cancel{4.70}\cdot x}{\cancel{4.70}}\\    3 &=& x \end{eqnarray*}

Entonces, la distancia que hay desde mi casa hasta el supermercado es de 3 kilómetros. Ahora vamos a verificar que esto sea correcto:

    \begin{eqnarray*} P &=& 7.40 + 4.70\cdot \textcolor{red}{x}\\   &=& 7.40 + (4.70)(\textcolor{red}{3})\\   &=& 7.40 + 14.10\\   &=& 21.50 \end{eqnarray*}

que es precisamente lo que pagamos al taxista.



Ejemplo 9

Isabel tiene en total $65.00 pesos en 22 monedas. Algunas monedas son de $2.00 pesos y las demás son de $5.00 pesos. ¿Cuántas monedas tiene de cada denominación?

Sabemos que tiene en total 22 monedas. Si ella tuviera 10 monedas de $2.00 pesos, las demás, es decir, 22 - 10 = 12 monedas serían de $5.00 pesos. Entonces, si tiene x monedas de $2.00 pesos, las de $5.00 pesos serán 22 - x monedas.

La cantidad de dinero que tiene en las monedas de $2.00 pesos es: 2\,x. La cantidad de dinero que tiene en monedas de $5.00 pesos es: 5\cdot(22 - x). Y en total sabemos que tiene $65.00 pesos.

Si sumamos el dinero que tiene en monedas de $2.00 pesos con las de $5.00 pesos obtenemos lo que tiene en total.
Entonces, la ecuación que modela esta situación es:

    \begin{equation*}    65 = 2\,x + 5\cdot(22 - x) \end{equation*}

Para resolverla empezamos multiplicando por 5 dentro del paréntesis:

    \begin{eqnarray*}    65 &=& 2\,x + 110 - 5\,x\\    65 &=& 110 - 3\,x \end{eqnarray*}

Ahora sumamos en ambos lados de la ecuación: 3\,x para simplificarla:

    \begin{eqnarray*}    65 + 3\,x &=& 110 - \cancel{3\,x} + \cancel{3\,x}\\    65 + 3\,x &=& 110 \end{eqnarray*}

Ahora sumamos -65 en ambos lados de la igualdad:

    \begin{eqnarray*}    \cancel{65} + 3\,x - \cancel{65} &=& 110 - 65\\    3\,x &=& 45 \end{eqnarray*}

Finalmente, dividimos ambos lados de la igualdad entre 3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\cancel{3}\,x}{\cancel{3}} &=& \frac{45}{3}\\    x &=& 15 \end{eqnarray*}

Recuerda que x representa la cantidad de monedas de $2.00 pesos que tiene Isabel, entonces, tiene 22 - 15 = 7 monedas de $5.00 pesos. Vamos a verificar que los cálculos sean correctos.

    \begin{eqnarray*}    65 &=& 2\,x + 5\cdot(22 - x)\\    65 &=& 2\,(15) + 5\cdot(22 - 15)\\    65 &=& 30 + 5\cdot(7)\\    65 &=& 30 + 35 \end{eqnarray*}

Esto nos indica que el resultado es correcto.


En el ejemplo anterior, si hubieramos encontrado que la solución de la ecuación no era un número entero (sí lo es), entonces deberíamos revisar nuestro procedimiento, porque Isabel no puede tener, por ejemplo, 12.33 monedas de $2.00 pesos.

En caso de que revisaramos el problema y vieramos que el resultado es correcto, entonces podríamos concluir que el problema no tiene sentido físico, a pesar de que tiene solución matemática. En otras palabras, el problema está mal planteado. Indicar esto también puede ser la solución a un problema.


Ejemplo 10

David compró 9 manzanas. En el camino a su casa se comió 2 de esas manzanas y el resto las vendió, aumentando el precio en $4.00 pesos. Finalmente ganó $4.00 pesos. ¿Cuánto pagó David por cada manzana cuando las compró?

Queremos saber cuál era el precio inicial de las manzanas. Sabemos que compró 9, y se comió 2, por lo que vendió 7 manzanas y todas al mismo precio.

Supongamos que cada manzana le costo $ x pesos . Entonces, como él compró 9, debió pagar: 9\,x.

Sabemos que él aumentó el precio original en $4.00 pesos para venderlas más caras y recuperar las que ya se había comido. El precio al que vendía las manzanas era: x + 4. Pero él vendió 7 de esas manzanas, con lo que obtuvo 7\,(x + 4). Y con eso ganó $4.00 pesos. Es decir,

    \begin{eqnarray*}    7 \cdot \mbox{\textcolor{blue}{Precio de venta}} &=& 9 \cdot \mbox{\textcolor{red}{Precio de compra}} + 4 \\    7\cdot(\textcolor{blue}{x + 4}) &=& 9\cdot \textcolor{red}{x} + 4 \end{eqnarray*}

Ahora debemos resolver esta ecuación. Empezamos multiplicando por 7 dentro del paréntesis:

    \begin{eqnarray*}    7\,(x + 4) &=&	9\,x + 4 \\    7\,x + 28 &=& 9\,x + 4 \end{eqnarray*}

Ahora sumamos en ambos lados de la igualdad, primero -4 y después -7\,x para simplificar la ecuación:

    \begin{eqnarray*}    \cancel{7\,x} + 28 - 4 - \cancel{7\,x} &=& 9\,x + \cancel{4} - \cancel{4} - 7\,x \\    24 = 2\,x &\Rightarrow& 2\,x = 24 \end{eqnarray*}

Y esto nos dice en palabras. Pensé un número, lo multipliqué por 2 y obtuve 24. ¿Qué número pensé? Obviamente, pensó el número 12. Entonces, le costaron a $12.00 pesos cada manzana.

Vamos a verificar el resultado: si le costaron $12.00 pesos, él debió pagar en total (12)(9) = 108 pesos.
Para venderlas aumentó el precio en $4.00 pesos, por lo recibía 12 + 4 = 16 pesos por cada manzana que vendía.
Él vendió solamente 7 de las 9 manzanas, porque él se comió 2, y por las que vendió en total recibió: (7)(16) = 112 pesos. Como pagó 108 pesos por las manzanas, en total ganó 112 - 108 = 4 pesos.


En este último ejemplo, pudimos haber tenido una solución con decimales. En este contexto no tiene caso considerar más de dos decimales, porque cuando contamos dinero, lo más que contamos son centavos, que representan centésimas partes de un peso.


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