Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Cuando hacemos preguntas relacionadas a funciones exponenciales o logaritmicas generalmente obtendremos una ecuación logarimica o exponencial.

Contenido

1 Ejemplo 1
2 Ejemplo 2
3 Ejemplo 3
4 Ejemplo 4
5 Ejemplo 5
6 Ejemplo 6
7 Ejemplo 7
8 Ejemplo 8

Ejemplo 1

Elevé el número 3 a una potencia y obtuve 243. ¿A qué potencia lo elevé?

De acuerdo al problema, tenemos:

$\begin{equation*} 3^k = 243 \end{equation*}$

Para calcular el valor de $k$ usamos la propiedad:

$\begin{equation*} \log_{a} a^x = x \end{equation*}$

Así que podemos sacar logaritmo en base tres en ambos lados de la igualdad y obtener:

$\begin{equation*} \log_{3}(3^k) = \log_{3}(243) \end{equation*}$

Y ahora aplicamos la otra propiedad de los logaritmos que dice:

$\begin{equation*} \log_{a} N = \frac{\log_{b} N}{\log_{b} a} \end{equation*}$

con lo que obtenemos:

$\begin{equation*} \log_{3}(3^k) = k = \log_{3}(243) = \frac{\ln 243}{\ln 3} = 5 \end{equation*}$

Verifica este resultado sin calculadora.

Observa que este procedimiento se justifica en el hecho de que las funciones exponenciales y logaritmicas son inversa una de la otra.
Puedes ver que el resultado no dio exactamente al que obtuvimos cuando lo resolvimos en otra ocasión. Esto se debe a que entonces redondeamos los resultados, pues es imposible que la población diera, 1’304,773.184 personas. Así que nos vimos forzados a truncar el resultado. En los problemas aplicados es importante observar esto.

También surgen oportunidades de utilizar las ecuaciones exponenciales y logaritmicas en los mismos problemas aplicados.

Ejemplo 2

En el ejemplo que se resolvió lección previa encontramos que la población de una ciudad creció de 1’000,000 a 1’304,773 en 9 años. ¿Cuál es la tasa de crecimiento anual promedio?

Nosotros ya conocemos el resultado, pero vamos a resolver este problema. Como suponemos que durante los 9 años la tasa de crecimiento fue la misma, tenemos:

$\begin{equation*} 1\,304\,773 = 1\,000\,000\cdot r^9 \end{equation*}$

Nosotros debemos calcular el valor de $~r~$ , que es la tasa de crecimiento. Para eso, despejamos $r^9$ :

$\begin{equation*} \frac{1\,304\,773}{1\,000\,000} = r^9 \qquad\Rightarrow\qquad r = \sqrt[9]{1.304\,773} \approx 1.029999984 \end{equation*}$

Luego, $r \approx 1.029999984$ . El 1 que aparece en $~r~$ representa el 100% de la población que hay al inicio de cada año. La parte de los decimales representa lo que la población crecerá cada año. En este caso, $0.029999984\times100 = 2.999998\%$ . Entonces, aproximadamente la tasa de crecimiento de la población de esa ciudad es del 2.999998% anual.

Otra forma de resolver un problema que ya hemos resuelto se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3

Ahora supondremos que conocemos que en esa ciudad la población crece a razón constante de 3%. Si la población inicial era de 1’000,000 de personas, ¿cuántos años deben pasar para alcanzar una población de 1’304,773 habitantes?

Nosotros ya sabemos que eso ocurre en 9 años. De cualquier manera vamos a resolver el problema. Ahora, las condiciones del problema nos dicen:

$\begin{equation*} 1\,304\,773 = 1\,000\,000\cdot (1.03)^x \end{equation*}$

Lo que ahora necesitamos calcular es $x$ , el número de años que deben pasar para que lapoblación crezca esa cantidad. Para eso aplicaremos la siguiente propiedad de los logaritmos:

$\begin{equation*} \log_{a} N^k = k\cdot\log_{a} N \end{equation*}$

Esto nos permite escribir:

$\begin{eqnarray*} 1\,304\,773 = 1\,000\,000\cdot (1.03)^x\qquad&\Rightarrow&\qquad 1.03^x = 1.304\,773\\ & \Rightarrow & \qquad x\cdot\log (1.03) = \log (1.304\,773)\\ & \Rightarrow & \qquad x = \frac{\log (1.304\,773)}{\log(1.03)} = 8.999995 \end{eqnarray*}$

Esto es, prácticamente 9 años.

También podemos encontrar ecuaciones más complicadas que se resuelven con los mismos principios.

Ejemplo 4

Resuelve la siguiente ecuación:

$\begin{equation*} 5\cdot\ln(x) = \ln (32) \end{equation*}$

Aplicamos la propiedad:

$\begin{equation*} \log_{a} N = \frac{\log_{b} N}{\log_{b} a} \end{equation*}$

pero ahora meteremos el factor al argumento del logaritmo:

$\begin{equation*} 5\cdot\ln(x) = \ln(x^5) = \ln(32) \end{equation*}$

Como la función logarítmica natural tiene por función inversa la exponencial con base $e$ , aplicamos ésta a ambos lados de la igualdad:

$\begin{equation*} e^{\ln(x^5)} = e^{\ln(32)} \end{equation*}$

Pero por definición de inversa, obtenemos los argumentos en cada lado de la igualdad:

$\begin{equation*} x^5 = 32 \end{equation*}$

La solución se encuentra ahora de manera inmediata:

$\begin{equation*} x = \sqrt[5]{32} = 2 \end{equation*}$

Verifica en la calculadora que satisface la ecuación inicial.

Ejemplo 5

Resuelve la siguiente ecuación logaritmica:

$\begin{equation*} \log(7\,x + 2) = 2 \end{equation*}$

Primero debes observar que están utilizando el logaritmo en base 10. Eso nos permite convertir la ecuación a la forma equivalente:

$\begin{equation*} 10^{(\log(7\,x + 2))} = 7\,x + 2 = 10^2 = 100 \end{equation*}$

La solución de esta ecuación es inmediata:

$\begin{eqnarray*} 7\,x + 2 &=& 100\\ 7\,x &=& 98\\ x &=&\frac{98}{7} = 14 \end{eqnarray*}$

Sustituye este valor y verifica que satisface la ecaución.

Ejemplo 6

Resuelve la siguiente ecuación logaritmica:

$\begin{equation*} \ln\left(x + 1\right) - \ln\left(x - 1\right) =\ln 2 \end{equation*}$

Primero aplicaremos la siguiente propiedad de los logaritmos:

$\begin{equation*} \log_a M - \log_a N = \log_a\left(\frac{M}{N}\right) \end{equation*}$

Observa que una diferencia de logaritmos se transforma en el logaritmo del cociente de los argumentos:

$\begin{equation*} \ln\left(x + 1\right) - \ln\left(x - 1\right) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)= \ln 2 \end{equation*}$

Ahora podemos aplicar el hecho de que la función exponencial natural es inversa de la función logaritmo natural:

$\begin{equation*} e^{\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}= e^{\ln 2}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{x+1}{x-1} = 2 \end{equation*}$

De aquí, fácilmente calculamos el valor de $x$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x-1} &=& 2\\ x + 1 &=& 2\,(x - 1)\\ x + 1 &=& 2\,x - 2\\ 3 &=& x \end{eqnarray*}$

Entonces, la solución es $x = 3$ . Sustituye este valor en la ecuación y verifica que la solución sea correcta.

Ejemplo 7

Un estudiante planea invertir $1,000 pesos en una cuenta del banco que ofrece 8.5% de interés compuesto anualmente. ¿Cuánto tiempo debe esperar para obtener el doble de lo que depositó?

Sabemos que depositó $1,000.00 pesos como monto inicial. Él desea esperar hasta que el monto sea de $2,000.00 pesos. Entonces,

$\begin{equation*} 2\,000 = 1\,000\cdot(1.085)^n \end{equation*}$

donde $n$ es el número de años que debe mantenersu dinero sin retiros. Para calcular el valor de $n$ despejamos:

$\begin{equation*} \frac{2\,000}{1\,000} =(1.085)^n\qquad\Rightarrow\qquad (1.085)^n = 2 \end{equation*}$

Ahora sacamos logaritmo natural en ambos lados y obtenemos:

$\begin{equation*} n\ln(1.085) = \ln(2) \end{equation*}$

Esto puede evaluarse en una calculadora científica y obtenemos:

$\begin{equation*} n = \frac{\ln(2)}{\ln(1.085)} = 8.4965\mbox{años.} \end{equation*}$

Esto equivale a 8 años y 181 días.

Algunas veces encontrarás ecuaciones exponenciales puras que no requieren de las propiedades de los logaritmos para resolverse.

Ejemplo 8

Resuelve:

$\begin{equation*} 4^x = 2^{x+3} \end{equation*}$

El truco consiste en escribir ambos lados de la igualdad con la misma base. Dado que $4 = 2^2$ podemos escribir la ecuación de la siguiente forma equivalente:

$\begin{equation*} (2^2)^x = 2^{x+3} \end{equation*}$

Por las leyes de los exponentes, podemos escribir:

$\begin{equation*} (2)^{2x} = 2^{x+3} \end{equation*}$

Para que ambos lados de la igualdad sean iguales, los exponentes deben ser iguales, dado que las bases lo son. Luego,

$\begin{equation*} 2x = x+3\qquad\Rightarrow\qquad x = 3 \end{equation*}$

Ahora verificamos que en realidad se satisfaga la ecuación cuando $x = 3$ :

$\begin{equation*} 4^x = 2^{x+3}\qquad\Rightarrow\qquad 4^3 = 64 = 2^{3+3} \end{equation*}$

En cualquier ecuación exponencial o logaritmica se requiere que entiendas la definición de función exponencial o logarítmica, porque en base a la definición es como se resuelven estas ecuaciones. Así que haz tu mejor esfuerzo para entenderlas.

A propósito, así son todas las matemáticas. Si entiendes bien los conceptos, entender los procedimiento que usamos para la solución de los problemas siempre parece natural. Si no has entendido bien algunos conceptos te parecerá difícil o extraño un procedimiento, simplemente porque no has entendido la base. Todos los procedimientos en matemáticas se basan en las definiciones que se han dado antes.

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