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Ecuación de las rectas notables de un triángulo

Aprenderás a calcular la ecuación de rectas notables del triángulo.

Como recordarás del curso de geometría plana, las rectas notables de un triángulo son:

  • Mediana: Una mediana es la recta que pasa por el punto medio de un lado del triángulo y el vértice opuesto.
  • Altura: Una altura es la recta que es perpendicular a un lado y pasa por el vértice opuesto.
  • Mediatriz: Una mediatriz es la recta que pasa por el punto medio de un lado y es perpendicular al mismo.
  • Bisectriz: Una bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

En esta sección encontraremos las ecuaciones de las rectas notables de triángulos.

De manera analítica verificaremos algunas cosas que ya estudiamos en geometría plana.

Medianas

Como ya se dió la definición de mediana, vamos directamente a un ejemplo.


Ejemplo 1

El triángulo \triangle ABC tiene sus vértices en los puntos A(-3,-2), B(3,0) y C(-1,2). Encuentra la ecuación de la mediana que pasa por el punto medio del lado \overline{AB}.

Empezamos calculando las coordenadas del punto medio del lado \overline{AB}:

     \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    \bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2}{2}\\    \bar{x} &=& \frac{-3 + 3}{2}\\    \bar{x} &=& 0 \end{eqnarray*} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.35\linewidth}   \begin{eqnarray*}    \bar{y} &=& \frac{y_1 + y_2}{2}\\    \bar{y} &=& \frac{-2 + 0}{2}\\    \bar{y} &=& -1 \end{eqnarray*} \end{minipage}

Ahora sabemos que esa mediana pasa por los puntos M(0,-1) y el vértice opuesto al lado \overline{AB}, es decir, por el punto C(-1,2).
Ya tenemos dos puntos, podemos encontrar la ecuación de la recta.
Calculamos la pendiente de la mediana:

    \begin{equation*}    m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 + 2}{3 + 3} = \frac{1}{3} \end{equation*}

Ahora encontramos la ecuación de la recta usando la forma punto-pendiente:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - (-1) &=& \left(\frac{1}{3}\right)\,(x - 0)\\    y + 1 &=& \frac{1}{3}\,x\\    3\,(y + 1) &=& x \\    3\,y + 3 -x &=& 0 \end{eqnarray*}

Entonces, la ecuación de esa mediana es: x - 3\,y - 3 = 0. La siguiente figura muestra la situación del problema:

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Reto

Simplemente observando la figura del ejemplo anterior y sin utilizar álgebra, encuentra la ecuación de la mediana que pasa por el punto medio del lado \overline{AC}.

Podemos generalizar este problema un poco más si en lugar de encontrar la ecuación de una mediatriz solamente, nos avocamos a calcular las ecuaciones de las tres mediatrices del triángulo. Más aún, si nos decidimos calcular la mediatriz de un triángulo que pasa por el punto medio de un lado dadas las coordenadas de sus vértices: A(x_a, y_a), B(x_b, y_b) y C(x_c, y_c).

Siempre que tengas que calcular una ecuación, particularmente en estos problemas, se sugiere que siempre dibujes primero un gráfico que ilustre la situación. Así tendrás acceso a información que no es evidente del texto del problema. La gráfica siempre te ayudará de guia para tener orden en tus procedimientos y cálculos.


Ejemplo 2

Calcula las ecuaciones de las tres medianas del triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(1,3), B(-3,1) y C(3,-1).

Vamos a dibujar un gráfico para ordenar ideas:

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Para tener un orden, primero vamos a calcular la mediana que pasa por el vértice A, después la mediana que pasa por el punto B y finalmente la que pasa por el punto C.

  • Mediana que pasa por A(1,3)

Calculamos las coordenadas del punto medio del lado \overline{BC}:

     \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    \bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2}{2}\\    \bar{x} &=& \frac{-3 + 3}{2}\\    \bar{x} &=& 0 \end{eqnarray*} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    \bar{y} &=& \frac{y_1 + y_2}{2}\\    \bar{y} &=& \frac{1 - 1}{2}\\    \bar{y} &=& 0 \end{eqnarray*} \end{minipage}

El punto medio del lado \overline{BC} es el origen del sistema de coordenadas.

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Ahora encontramos la pendiente de la mediana que pasa por los puntos M_{BC}(0,0) y A(1,3):

    \begin{equation*}    m = \frac{3-0}{1-0} = 3 \end{equation*}

Ahora sustituimos los datos conocidos en la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 0 &=& 3\,(x - 0)\\    y &=& 3\,x \end{eqnarray*}

Entonces, la ecuación de la mediana que pasa por el punto medio del lado \overline{BC} y por el vértice A(1,3) es:

    \begin{equation*} 3\,x - y = 0 \end{equation*}

  • Mediana que pasa por B(-3,1)

Calculamos el punto medio del lado \overline{AC}:

     \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    \bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2}{2}\\    \bar{x} &=& \frac{1 + 3}{2}\\    \bar{x} &=& 2 \end{eqnarray*} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    \bar{y} &=& \frac{y_1 + y_2}{2}\\    \bar{y} &=& \frac{3 - 1}{2}\\    \bar{y} &=& 1 \end{eqnarray*} \end{minipage}

El punto medio del segmento es: M_{AC} (2,1). Calculamos la pendiente de la mediana que pasa por los puntos: M_{AC} (2,1) y B(-3,1)

    \begin{equation*}    m = \frac{1-1}{-3-2} = 0 \end{equation*}

La pendiente de esta recta es cero. Esto nos indica que la recta es horizontal.

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Calculamos la ecuación con la ecuación en su forma punto-pendiente:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 1 &=& 0\,(x - (-3))\\    y - 1 &=& 0 \end{eqnarray*}

Esta es la ecuación de la mediana.

  • Mediana que pasa por C(3,-1)

Calculamos el punto medio del lado \overline{AB}:

     \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    \bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2}{2}\\    \bar{x} &=& \frac{1 - 3}{2}\\    \bar{x} &=& -1 \end{eqnarray*} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    \bar{y} &=& \frac{y_1 + y_2}{2}\\    \bar{y} &=& \frac{3 + 1}{2}\\    \bar{y} &=& 2 \end{eqnarray*} \end{minipage}

Es decir, M_{AB}(-1,2). Ahora calculamos la pendiente de la mediana, sabiendo que pasa por los puntos M_{AB}(-1,2) y C(3,-1):

    \begin{equation*}    m = \frac{-1-2}{3-(-1)} = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4} \end{equation*}

Ahora calculamos la ecuación de la mediana usando los datos que ya conocemos:

    \begin{eqnarray*}    y - (-1) &=& \left(-\frac{3}{4}\right)\,(x - 3)\\    4\,(y + 1) &=& -3\,(x - 3)\\    4\,y + 4 &=& -3\,x + 9\\    3\,x + 4\,y - 5 &=& 0 \end{eqnarray*}

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Reto

Verifica que las tres medianas del triángulo del ejemplo anterior se cortan en un solo punto.


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