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Ecuación de las rectas notables de un triángulo

Aprenderás a calcular la ecuación de rectas notables del triángulo.


Bisectrices

Una bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Podemos decir que la bisectriz es el eje de simetría del ángulo. Vamos a encontrar bisectrices de los ángulos de triángulos. Para eso, primero tenemos que recordar la siguiente propiedad de la bisectriz de un ángulo.


Cada punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo:

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También vamos a necesitar la siguiente propiedad del valor absoluto:

    \begin{equation*}    |x| = a \qquad\Rightarrow\qquad     \left\{    \begin{array}{l}       x = a\\       x = -a    \end{array}\right. \end{equation*}

Para verificar que esto se cumple, puedes dar valores al número a y sustituir en la propiedad. Por ejemplo, supongamos que a=5. Entonces, |x| = 5 se cumple para x=5 y para x=-5, porque |5| = 5 y también |-5| = 5. Vamos a utilizar esta propiedad en la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta. En esta fórmula está incluida la función valor absoluto (en el numerador). Entonces, tendremos dos soluciones, una cuando el argumento de esa función sea positivo y otra cuando el argumento sea negativo. Y esto tiene sentido geométricamente, porque para dos rectas que se cortan, podemos encontrar dos bisectrices:

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Nosotros solamente nos preocuparemos en que la bisectriz realmente esté dentro del triángulo. Para esto, vamos a necesitar graficar la ecuación de la bisectriz que hayamos obtenido de nuestros cálculos y verificar que es así. Otra forma de verificar consiste en calcular la distancia a un punto y ver gráficamente que la medida tiene sentido con respecto a la bisectriz que calculamos y que no tendría sentido con respecto a la otra bisectriz.


Ejemplo 7

Calcula la ecuación de la bisectriz que pasa por el vértice A del triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(3,2), B(-2,1) y C(1,-3)

Empezamos graficando el triángulo y vemos de qué lados equidistan los puntos de esa bisectriz:

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De la figura es evidente que la bisectriz equidista de los lados \overline{AB} y \overline{AC}. Entonces, primero debemos encontrar las ecuaciones de esos lados del triángulo.

  • Ecuación del lado \overline{AB}

Primero calculamos su pendiente:

    \begin{equation*}    m_{AB} = \frac{2 - 1}{3 + 2} = \frac{1}{5} \end{equation*}

Ahora podemos calcular su ecuación:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 2 &=& \left(\frac{1}{5}\right)\,(x - 3)\\    5\,(y - 2) &=& x - 3\\    5\,y - 10 &=& x - 3\\    x - 5\,y + 7  &=& 0 \end{eqnarray*}

Ya encontramos la ecuación del lado \overline{AB}.

  • Ecuación del lado \overline{AC}

Calculamos su pendiente:

    \begin{equation*}    m_{AC} = \frac{-3-2}{1-3} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2} \end{equation*}

Ahora calculamos su ecuación:

    \begin{eqnarray*}    y - 2 &=& \left(\frac{5}{2}\right)\,(x - 3)\\    2\,(y - 2) &=& 5\,(x - 3)\\    2\,y - 4 &=& 5\,x - 15\\    5\,x - 2\,y - 11 &=& 0 \end{eqnarray*}

  • Ecuación de la bisectriz

Sabemos que todo punto P(x,y) sobre la bisectriz, equidista de los lados \overline{AB} y \overline{AC}. Algebraicamente, esto se representa como:

    \begin{equation*}     \frac{|5\,x - 2\,y - 11|}{\sqrt{25 + 4}} = \frac{|x - 5\,y + 7|}{\sqrt{1 + 25}} \end{equation*}

Vamos a resolver esta ecuación. Observa que tenemos dos valores absolutos.

  • Caso I

Primero vamos a considerar los argumentos de ambos valores absolutos positivos.

    \begin{eqnarray*}    \frac{5\,x - 2\,y - 11}{\sqrt{29}} &=& \frac{x - 5\,y + 7}{\sqrt{26}}\\    \sqrt{26}\,(5\,x - 2\,y - 11) &=& \sqrt{29}\,(x - 5\,y + 7)\\    5\,\sqrt{26}\,x - 2\,\sqrt{26}\,y - 11\,\sqrt{26} &=& \sqrt{29}\,x - 5\,\sqrt{29}\,y + 7\,\sqrt{29} \end{eqnarray*}

Ahora podemos simplificar esta ecuación de la siguiente manera:

    \begin{eqnarray*}    \left(5\,\sqrt{26} - \sqrt{29}\right)\,x + \left(5\,\sqrt{29} - 2\,\sqrt{26}\right)\,y - \left(11\,\sqrt{26} + 7\,\sqrt{29}\right) &=& 0\\    20.1099\,x + 16.7278\,y - 93.7854 &=& 0 \end{eqnarray*}

Ahora debemos verificar que esta ecuación es la de la mediatriz que corta al ángulo interno del triángulo. Para eso, despejamos y y obtenemos:

    \begin{equation*}    y = \frac{-20.1099\,x + 93.7854}{16.7278} = -1.2\,x + 5.6 \end{equation*}

En esta ecuación la pendiente es negativa, lo que nos indica que la recta es decreciente. Es decir, cuando incrementamos en x hay una disminución en y. Pero la gráfica de la bisectriz es creciente, por lo que tenemos que ir al siguiente caso.

  • Caso II

Ahora vamos a intentar resolver con un argumento de la función valor absoluto positivo y el otro negativo.

    \begin{eqnarray*}    \frac{-(5\,x - 2\,y - 11)}{\sqrt{29}} &=& \frac{x - 5\,y + 7}{\sqrt{26}}\\    \frac{-5\,x + 2\,y + 11}{\sqrt{29}} &=& \frac{x - 5\,y + 7}{\sqrt{26}}\\    \sqrt{26}\,\left(-5\,x + 2\,y + 11\right) &=& \sqrt{29}\,\left(x - 5\,y + 7\right)\\    -5\,\sqrt{26}\,x + 2\,\sqrt{26}\,y + 11\,\sqrt{26} &=& \sqrt{29}\,x - 5\,\sqrt{29}\,y + 7\,\sqrt{29} \end{eqnarray*}

Simplificando, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    - \left(5\,\sqrt{26}+ \sqrt{29}\right)\,x + \left(2\,\sqrt{26} + 5\,\sqrt{29}\right)\,y + \left(11\,\sqrt{26} - 7\,\sqrt{29}\right)&=& 0\\    - 30.8803\,x + 37.1239\,y + 18.3931 &=& 0 \end{eqnarray*}

Al despejar y para conocer la pendiente y ordenada al origen de esta ecuación obtenemos:

    \begin{equation*}    y = \frac{30.8803\,x - 18.3931}{37.1239} = 0.8318\,x - 0.4955 \end{equation*}

Esta es la ecuación de la mediatriz del ángulo \angle A.


En cualquier ejercicio, siempre bastará con probar los dos casos. Pues en estos dos casos están contenidos los 4 posibles casos de la igualdad:

    \begin{eqnarray*}    \frac{|A_1\,x + B_1\,y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} &=& \frac{|A_2\,x + B_2\,y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}\\    \frac{|\ell_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} &=& \frac{|\ell_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}\\ \end{eqnarray*}

Los cuatro casos posibles consisten en que el argumento de las funciones valor absoluto sean, bien positivo, bien negativo.

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